無限粒子系の確率解析学

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16H06338
• 研究種目: 基盤研究(S)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 中部大学 (2020, 2022); 九州大学 (2016-2019)
• 研究代表者: 長田 博文 中部大学, 工学部, 教授 (20177207)
• 研究分担者: 種村 秀紀 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40217162) ; 舟木 直久 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (60112174) ; 香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016) ; 白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932) ; 笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640) ; 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
• 研究期間 (年度): 2016-05-31 – 2021-03-31
• キーワード: 無限粒子系 / 確率解析 / ランダム行列 / 可解モデル / 確率幾何 / 統計物理 / 無限次元確率微分方程式 / Dirichlet形式

研究成果の概要

無限粒子系の時間発展を記述する無限次元確率微分方程式の新しい理論を完成した。 この研究で、無限粒子系を解析するスキームの理論、更に、IFC条件、点過程の対数微分、準Gibbs性、第一および第二テイル定理など、構築した。それをディリクレ形式の一意性、ランダム行列の確率的力学的普遍性と剛性、無限次元ダイソンモデルの既約性とエルゴード性に適用した。 剛体球形無限粒子系、ランダム解析関数のゼロ点からなる無限粒子系、ビッグジャンプ無限粒子系など、無限粒子系の世界を大幅に拡張しました。 我々は、一次元排除過程における大偏差原理のレート関数の明示的な表現を追求し、可解モデルと確率解析を統合する研究を行った。

自由記述の分野

確率論

研究成果の学術的意義や社会的意義

従来の古典的確率論は1粒子の確率論であり、それを無限粒子系に拡張するのが無限粒子系の確率論である。本研究の中心は無限粒子系を記述する無限次元確率微分方程式の新理論である。この理論は無限次元確率微分方程式の解の存在と一意性という問題に、革命的な進展をもたらした。背後にある思想はロバストかつ汎用性があり、無限粒子系を記述する確率微分方程式のみならず、統計物理に動機づけられた確率論の諸問題に広く適用できる。指導原理として、すべての古典的確率論の問題（1粒子の問題）は、無限粒子系の問題へ持ち上げることができ、更に、無限粒子系独自の問題設定や1粒子にはない現象を、この理論を使用して解析できる。