双直交多項式による平面分割の解析

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05058
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 上岡 修平 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: 平面分割 / 直交多項式 / 数え上げ組合せ論 / 可積分系

研究成果の概要

非負整数を成分とする２次元配列で各行・各列が弱い意味で単調減少なものを平面分割という．本研究では（逆）平面分割のよい母関数すなわち積型の表示を持つ母関数を，双直交多項式というクラスの直交多項式から，または双直交多項式に付随する力学系である離散２次元戸田格子の解から構成するための手続きを定式化した．さらにその手続きを用いて，MacMahon母関数やトレース母関数などの既知の母関数を一般化するような新しい母関数を導出した．

自由記述の分野

数え上げ組合せ論

研究成果の学術的意義や社会的意義

組合せ論的オブジェクトである平面分割は，それ自身に対する研究のみならず，数学の他分野に関連付けられたり物理学などの他領域に応用されたりしている．その背景には積型のよい母関数の数学的な扱いやすさがある．平面分割のよい母関数の存在は応用も含めて重要であるが，よい母関数を系統的に見つけるための処方箋はこれまでなかった．本研究の意義は，双直交多項式などの他分野の道具をうまく用いることで，平面分割のよい母関数を系統的に構成するための手続きを作り出した点にある．本研究で生み出した新しい母関数は，平面分割への理解を深めるだけでなく将来的に他分野への応用にも繋がると期待される．