| 研究課題/領域番号 |
16K05083
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| 研究機関 | 名城大学 |
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研究代表者 |
前野 俊昭 名城大学, 理工学部, 教授 (60291423)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 代数学 / 代数的組合せ論 / 半順序集合 |
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| 研究実績の概要 |
平成30年度の研究においては、主に以下の成果を得た。
・[Maeno-Numata, 2016 JCA]において導入されたマトロイドから定義されるGorenstein環に対しては，一般に強Lefschetz性を持つことが予想されている．この予想に関して，幾つかのマトロイドの例に対する検証を試みた．また，マトロイドの拡張としてポリマトロイド等への一般化を試み，それに対して構成される環のLefschetz性について考察した．
・超平面配置に対して定められる Solomon-Terao代数に対し，それが完全交叉であることと対応する超平面配置が自由であることの同値性が示された．これは Solomon-Terao代数の組合せ的研究において基礎となる結果である．Solomon-Terao代数の環構造を一般的に記述することは容易ではないが，特別なケースとして inversion arrangementに対する Solomon-Terao代数とSchubert多様体のコホモロジー環との比較を行った．また，Solomon-Terao代数のHilbert関数の組合せ的記述について考察し，Lefschetz性の成立についても検証を試みた．
・情報セキュリティ数理に関するテーマとして，max関数や argmax関数などのオークション関数に対する多項式最小表示を具体的に得ることができた．このアイデアは意思決定関数などのゲーム理論的状況にも応用することができ，幾つかの投票ゲーム的な事例について考察した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成30年度においては，主に可換Artin環のLefschetz性に関わる成果が得られた．Lefschetz性に関する問題は，研究計画においても主要な課題と位置付けられている問題であり，幾つかの新しいクラスの代数に対して Lefschetz性に関する結果を得ることができた．また，これまでに得られた結果の拡張・一般化に相当する結果も得られつつあり，研究計画については順調に進捗しているものと考えられる．
さらに，応用数理的な問題に関しても論文が受理されたが，これも今後の研究計画に繋がるものである．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も，主に以下の二つのテーマに関して研究を進める．
・Schubert calculusに関わるHopf代数と，それに基づく旗多様体のK環のモデルについて，組合せ的考察を進める．
・マトロイド，あるいは超平面配置に付随して定義される Artin環の Lefschetz性についての予想を検証する．
これらの問題については，既に得られた結果の中での手掛かりもあり，幾つかの具体例に対しての検証等も参考になるであろう．さらに，こうした問題については最近多くの研究者により新しい手法が開拓されつつある．マトロイドに付随したGorenstein環に対して Lefschetz性の Hessian判定法を適用する際に，概均質ベクトル空間の相対不変式の理論を用いる手法は特に興味深いものであり，今後の研究においても非常に有益なものであると考えられる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
ほぼ研究計画通りに経費を使用しているが，航空券など事前に正確な見積りの不可能なものについては使用計画とのずれは避け難い．
少額ではあるが次年度使用額にも配慮しつつ，使用計画に沿って経費執行を行う．
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