| 研究課題/領域番号 |
16K05083
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| 研究機関 | 名城大学 |
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研究代表者 |
前野 俊昭 名城大学, 理工学部, 教授 (60291423)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 代数学 / 代数的組合せ論 / 半順序集合 |
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| 研究実績の概要 |
令和元年度の研究においては、主にマトロイドや超平面配置に対して定められる Artin代数の Lefschetz性に関連した環構造の比較や、Lefschetz性を持たない環の構成を試みた。
マトロイドに対しては [Maeno-Numata, 2016 JCA]で導入された Gorenstein代数を考えることができる。この Gorenstein代数に対しては、村井、長岡、矢澤により1次のLefschetz性が証明されている。彼らの手法は表現論的観点からも興味深いものであり、様々な応用も期待される。一方で、Hessianが消えるような多項式に付随して Lefschetz性を持たないような Gorenstein代数の例が構成されるが、そうした代数の例に対する表現論的な意味付けについて考察した。
また、超平面配置に対しては [Abe-Maeno-Murai-Numata, 2019 JMSJ]により Solomon-Terao代数の概念が導入されたが、この代数に対する Lefschetz性の状況は一般的には明らかになっていない。その観点で、幾つかの例に対してマトロイドから定まる Gorenstein代数と Solomon-Terao代数との構造の比較を行った。さらに、Solomon-Terao代数に対して表現論的な手法が適用できる可能性もあり、余不変式代数等を含む幾つかの具体的な状況で検討を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでの研究で主要テーマの一つであったマトロイドに付随する Gorenstein代数の Lefschetz性については、村井、長岡、矢澤により Hodge-Riemann関係式、log-concavity、概均質ベクトル空間の相対不変式などを用いた強力な手法が開拓され、少なくとも1次のLefschetz性は明らかにされつつある。こうした手法は、Lefschetz性に対する Hessian判定法の適用範囲を拡大するものであり、こうした観点に基づいて新しいクラスのGorenstein代数に対して Hessian判定法に基づく Lefschetz性の研究を進めている。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在、超平面配置に対して定められる Solomon-Terao代数の Lefschetz性については限定的にしか明らかにされていない状況である。Solomon-Terao代数については、具体的な定義関係式の決定が困難であることもあり、具体例が乏しいことも原因の一つである。今後の研究においては、幾つかの具体的な状況における Solomon-Terao代数の構造の決定の他、表現論的な手法も視野に入れつつ研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和元年中に発生した台風19号の影響のため予定されていた海外出張を断念せざるを得なくなったことにより、計画通りの予算執行が困難となった。しかしその後の取り組みにより、当初計画に近い形での執行状況にまで持ち直している。
次年度使用額の使用計画としては、主に研究課題に関連する各分野の専門家に対する招聘旅費として利用することを計画しているが、コロナウイルス感染症に関わる社会状況を見極めつつ柔軟に対応する予定である。
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