| 研究課題/領域番号 |
16K05124
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
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| 研究分担者 |
服部 多恵 石川工業高等専門学校, その他部局等, 准教授 (40569365) [辞退]
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | リーマン多様体 / 倉持境界 / ディリクレ形式 / モスコ収束 / ネットワーク |
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| 研究実績の概要 |
ウェイト付きリーマン多様体を考える。非再帰的とする。その理想境界として、倉持境界を考える。ディリクレエネルギー有限な関数は倉持境界へのトレースを持ち、それを境界地とする関数の中で最小のディリクレエネルギーを持つものがただ一つ存在し、それはディリクレエネルギー有限な調和関数である。そのエネルギーを境界値の関数のエネルギーとして定めることによって、倉持境界上の誘導ディリクレ形式が定まる。また、（コンパクトで滑らかな超曲面で囲まれた）正則領域に対しても、その境界上の関数空間に同様の方法で誘導ディリクレ形式が定まる。
本研究の主成果として、次のことを証明した：正則領域の拡大列が非コンパクトウェイト付きリーマン多様体を取りつくすとき、各正則領域の境界上の誘導ディリクレ形式は、倉持境界上の誘導ディリクレ形式にモスコ収束する。さらにグリーン関数が無限遠でゼロに収束するとき、この収束は漸近コンパクトである。
エネルギー有限な関数は拡散過程に沿ってほとんど確実に有限の値に収束することが知られている。これから拡散過程は倉持境界に収束することが確かめられ、関数の極限値は拡散過程の収束点での関数のトレースの取る値になる。これらによって倉持コンパクト化は、ディリクレエネルギー有限な関数空間を表現するものであることを明確にしたことになる。対象を関数からエネルギー有限な写像へ広げて考えるとき、その無限遠点での挙動把握には、倉持境界での振る舞いを如何に捉えるかが問題となる。
以上の考察と結果は、昨年度無限ネットワークに対しても与えられたが、状況が異なるため、技術的な面での相違が現れる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非再帰的ウェイト付きリーマン多様体として、ユークリッド空間の有界領域を考えるとき，自然な境界と倉持境界の関係が問題となる。１次ソボレフ空間において、領域上の関数の空間全体の関数への拡張性が保証される場合、正則領域の拡大列が領域を取りつくすとき、各正則領域の境界上の誘導ディリクレ形式は、自然境界上の誘導ディリクレ形式にモスコ収束することが証明できる。このことから正則ディリクレ空間として同型であることが一般論からしたがう。これは新しい見識である。しかし自然な境界と倉持境界は完全に一致することを示すことが、重要な課題として現れている。深い解析が必要である。
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| 今後の研究の推進方策 |
先に述べたように，ユークリッド空間の有界領域自然な境界と倉持境界についての研究を進める。自然な境界でのディリクレ問題の正則可解性と関連しているので、この分野の最新の研究成果を取り入れて研究を深める方針である。マルチン境界の場合、一様領域では、自然な境界とマルチン境界が一致している（相川の定理）ことが知られている。関連を知りたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
前年度の未使用額を見落としていたため
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