2021 年度研究成果報告書

ケーラーグラフのラプラシアンのスペクトラム

研究課題

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研究課題/領域番号	16K05126
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
研究分野	幾何学
研究機関	名古屋工業大学
研究代表者	足立俊明名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
研究期間 (年度)	2016-04-01 – 2022-03-31
キーワード	ケーラーグラフ / 隣接行列 / 正規性 / ゼータ関数 / 2色彩道 / 誘導グラフ
研究成果の概要	頂点と2種類の辺から成るケーラーグラフにおいて主辺 p 個補助辺 q 個進む(p,q)-2色彩道を考え，閉道の個数の長さに関する生成関数である(p,q)ゼータ関数を考察しその有理性を示したが、ケーラーグラフが無向であるにもかかわらず有向グラフに対応する性質を示した。そこで複素空間形の離散モデルとして、正則であり主辺と補助辺のそれぞれの隣接行列が可換であるという正規性を仮定して考察した。正規ケーラーグラフでは、固有値を考察することで(p,q)-2色彩道による誘導グラフの連結性と非2部性とを判定でき、与えられたグラフの性質で全ての(p,q)-ゼータ関数の極の様子を把握できることが分かった。
自由記述の分野	リーマン幾何学
研究成果の学術的意義や社会的意義	頂点と辺とからなるグラフは、古くからリーマン多様体の離散モデルとして扱われてきて、辺の連続である道は測地線に対応すると考えられ、辺による頂点の隣接性を表す隣接作用素は情報伝搬表示として多様体のラプラシアンに相当する物として考察されてきた。研究者は、幾何構造を持つリーマン多様体では測地線だけではなく幾何構造に付随した曲線族をも対象として考察し、幾何構造に対応する磁場のもとでの軌道の研究をしてきた。今回の研究ではこのような多様体の離散モデルを構成し、軌道やラプラシアンに相当する物を導入して基本性質を調べることで、複素等質多様体に対応する正規ケーラーグラフを得、この方面の研究の基礎が構築された。