非可換調和解析における多次元特異積分論の構築ー実解析と表現論を融合した新たな手法

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05211
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 慶應義塾大学
• 研究代表者: 河添 健 慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 名誉教授 (90152959)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: 非可換調和解析 / ヤコビ解析 / 特異積分論 / 半単純リー群 / アーベル変換 / 分数作用素 / 畳み込み作用素

研究成果の概要

本研究の目的はヤコビ解析において用いた手法を精査すると共に、それを多変数へ、とくに高ランクな半単純リー群上の解析に拡張することであった。アーベル逆変換をユークリッド空間上の分数微分作用素で表記する手法により、ヤコビ解析とユークリッド空間での調和解析との関係がより明確になった。これにより従来から知られていた実ランク1の半単純リー群上の特異積分論を改善することができた。また多変数化に関しては具体的なSU(n,m)を例にとり、畳み込み作用素に見られるKunze-Stein現象の端点評価を得ることができた。高ランクの場合の最初の結果である。

自由記述の分野

調和解析

研究成果の学術的意義や社会的意義

ユークリッド空間上の調和解析を半単純リー群上に拡張する研究は、調和解析の主分野となっている。フーリエ解析の類型までは完成しているが、一般の特異積分論となると実ランク1な半単純リー群およびその拡張であるヤコビ解析の場合を除くと、結果に乏しい。今回の逆アーベル変換をユークリッド空間の分数微分作用素で表す手法により、例ではあるがSU(n,m)(ランクn) の場合に結果が得られたことは意義がある。とくに上記手法の有効性を確かめることができた。計算にはSU(n,m)の具体的な構造を用いているので、今後はこの性質を一般の高ランクな半単純リー群に拡張したい。