| 研究実績の概要 |
決定論的な力学系である古典可積分系に対して，確率論を用いた解析手法を展開してきた．また，古典可積分系に付随する特殊関数に関する研究として，Bannai-Ito多項式の例外拡張と母関数に関する研究をすすめた．これまで，箱玉系と１次元単純ランダムウォーク(Simple Random Walk,SRW)との関係性を基に，可積分系と確率論の両分野の観点から解析をすすめてきた．ここでは、箱玉系をはじめとする離散時空間上の可積分系に対して，確率論におけるPitman 変換の観点を導入し，ランダムな初期状態の振る舞いを考えることで，確率論の観点から可積分系の多彩な性質を明らかにしてきた．具体的には，箱玉系とPitman変換の間の対応関係を見出すことで，代表的な離散可積分系に対するPitman変換とその拡張を用いた表示，ならびにその両側無限格子上の力学系としての定式化を与えることに成功した．その上で，不変測度やエルゴード性などの基本的な問題に対する解析を進めてきた．さらに，Pitman変換に対する逆超離散化を議論することで，これまでの箱玉系に対する議論を有理写像で表される離散可積分系へと対象を広げて，議論の有効性を確かめることができた．特に，SRWからブラウン運動への極限から得られた「実数直線上の箱玉系」と超離散戸田方程式とも明らかになってきた．さらに，箱玉系以外のソリトン・オートマトンに対しても確率論からの解析を深めており，容量付き箱玉系に対するパス表示を導入すると同時に，高次元系でのPitman変換に対応するソリトン・オートマトンなど今後の研究の手がかりも得られた．
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