曲率流の三相境界問題とFast Diffusion 方程式の研究

2021 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K17634
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 数学解析
• 研究機関: 東京都立大学 (2020-2021); 岡山理科大学 (2016-2019)
• 研究代表者: 下條 昌彦 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (40588779)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 曲率流の自由境界値問題 / 対数拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 特異性 / 伝播現象 / 単安定・双安定 / パルス波・フロント波

研究成果の概要

本研究では, (1) 外力項曲率流の自由境界問題, (2) 対数拡散方程式の解の漸近挙動, (3) 空間非一様性な媒質上の曲率流の自由境界問題という申請時に掲げた3つのテーマに加えて (4)特異・被食捕食系の反応拡散方程式の研究という新しいテーマにも加えてそれぞれ成果が得られた. (1)では, 解の挙動を完全分類し各々の解の漸近挙動を解明した．また面積保存型の曲率流に対して進行波の局所指数安定性を証明した． (2) では遠方で指数的に減衰する対数拡散方程式の特異性解析を詳細に行った.

自由記述の分野

非線形放物型方程式

研究成果の学術的意義や社会的意義

物質の異なる二つの相が交わらずに共存するとき，それらを隔てる曲面や曲線を界面と呼ぶ．その運動はしばしば曲率流とよばれる偏微分方程式で記述され，自然界で見られる重要な時空パターンである．界面とその境界の双方が時々刻々と変形する「自由境界問題」は油滴の運動とも関係する．一方，対数拡散方程式は2次元リッチ流や1次元ボルツマン方程式の中心極限近似で得られる．平均曲率流とリッチ流に共通した構造を見つけることはR.Hamiltonらがポワンカレ予想を解決するプロジェクトで行ったことである．この観点から曲率流の自由境界問題と対数拡散方程式に対してを結び付ける数学理論を構築することには意義があると考えられる．