フラクタルの多様な数学的視点からの研究

2006 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17340026
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• 研究分担者: 宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606) ; 熊谷 隆 京都大学, 理学研究科, 教授 (90234509) ; 伊藤 俊次 金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (30055321) ; 相川 弘明 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20137889) ; 長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
• キーワード: フラクタル / 確率論 / 力学系 / 調和解析

研究概要

本年度の研究内容のうち代表的なものについて述べる。木上は、resistance formについて研究を行い、resistance formから決まるグリーン関数と有効抵抗の関係を見いだした。この関係式を応用して、有限グラフ上のresistance formの場合、与えられた有効抵抗からもとのresistance formを再構成する方法を与えた。また、大学院生の梶野と共同で熱核の対角成分のLi-Yau型の評価のもとで、対応するラプラシアンの固有値のcounting functionが半径一定のボールによる被覆の最小個数との関係を見いだした。
熊谷は、Barlow氏などと共同でtree上のrandom walkに対応する熱核の漸近挙動について研究を行い、熱核のoff-diagonalも含んだ詳細な評価を得た。さらに熊谷は、Barlow, Bass氏とともに、距離・測度空間上の拡散過程に対応する熱核について、Parabolic harnack inequalityがcut-off Sobolev inequalityと同値であることを証明した。またこの結果を用いて熱核のLi-Yau型の評価が摂動にたいして安定であることを示した。
熊谷と日野は共同で、無限分岐的な場合も含む自己相似集合上のDirichlet formの(自己相似的な)部分集合へのtraceとその定義域について研究を行い、traceの定義域をBesov空間として特徴付けた。
相川は平田、Lund氏と共に、John domain及びconvex setのunionのMartin境界の研究を行った。

研究成果

• [雑誌論文] A trace theorem for Dirichlet forms on fractals (2006)
  • 著者名/発表者名: Masanori Hino, Takashi Kumagai
  • 雑誌名: Journal of Functional Analysis Vol. 238 ページ: 578-611
• [雑誌論文] Random walk on the incipient infinite cluster on trees (2006)
  • 著者名/発表者名: Barlow, M.T., Kumagai, T.
  • 雑誌名: Illinois J. Math. (1) 50 ページ: 33-65
• [雑誌論文] Stability of parabolic Harnack inequalities on metric measure spaces (2006)
  • 著者名/発表者名: Barlow, M.T., Bass, R.F., Kumagai, T.
  • 雑誌名: J. Math. Soc. Japan (2) 58 ページ: 485-519
• [雑誌論文] Martin boundary points of John domains and unions of convex sets (2006)
  • 著者名/発表者名: H.Aikawa, K.Hirata, T.Lundh
  • 雑誌名: J. Math. Soc. Japan 58, 1 ページ: 247-273