| 研究課題/領域番号 |
17340036
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
重川 一郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00127234)
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| 研究分担者 |
吉田 伸生 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40240303)
日野 正訓 京都大学, 大学院・情報学研究科, 助教授 (40303888)
上木 直昌 京都大学, 人間・環境学研究科, 助教授 (80211069)
会田 茂樹 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (90222455)
高信 敏 金沢大学, 理学部, 教授 (40197124)
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| キーワード | ブラウン運動 / Wiener空間 / 確率解析 / 対数Sobolev不等式 / スペクトルの跳び / Witten Laplacian / Dirichlet形式 / Wiener測度 |
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| 研究概要 |
無限次元空間における確率解析の問題に関連し、主に幾何学的な観点から考察を進めた。手法的にはDirichlet形式などの関数解析的な方法を用いる。一つの主題はHodge-Kodaira作用素のスペクトルの性質を調べることである。Wiener空間にはWiener測度という自然な測度が存在するが、その場合のHodge-Kodaira作用素のスペクトルは完全に解明されているので、絶対連続な測度に変えた場合にスペクトルがどう変化するかを調べることは重要な課題である。この問題は日野によって考察され、関数に関しては、最小固有値は0で、固有関数は定数に限ること、また一般のp-formに関しては、最小固有値が正であることが示されている。但し測度の密度関数に関し、その対数微分が指数可積分であることを仮定している。重川はこの可積分性の指数を改良できることを示した。方法は摂動論を用い、レゾルベントが収束することを示す。このことにより区間[0,p)におけるスペクトルが離散的であることが分かり、所与の結果が得られるわけである。評価は対数Sobolev不等式を用いた。
他の話題としては、有限次元の問題であるが、Riemann多様体の上のp-formに対して、Littlewood-Paley不等式、及びグラディエントと生成作用素の平方とのL^pノルムの同値性を示した。特に新しい点はスカラーポテンシャル項を付け加えても成立することを示した点である。条件としてはRiemann曲率の下からの有界性と、スカラーポテンシャルの対数微分の有界性である。
また、この科研費により、毎年開催している「確率解析とその周辺」シンポジウムを今年度も開催し、参加者の旅費の補助を行った。英国よりZhongmin Qian教授の参加があり、Rough Path解析の講演をしていただいたのは有意義であった。
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