| 研究概要 |
Gを有限群として、α,βをGの忠実な既約指標とする。このときαとβの積αβはまたGの措標となるが、既約指標となることがあるのだろうか?まず考えられるのがαとβが共に1次指標の場合である。この場合はαβも1次指標となり既約となる。しかしこの場合α,βがGの忠実な既約指標であることよりGは巡回群でなければならない。このような中で次のIsaacsの予想Aが生まれた。
予想A「積が既約指標となる忠実な2つの既約指標をもつ可解群は巡回群である。」
そしてこのことを証明するには
予想B「Gは可解群、Fを標数pの体として、Vを既約なFG-加群とする。さらにG=XY(X,YはGの部分群でX,Yがそれぞれ零でないVの元を固定するならば、Vは自明なFG-加群となる。」を証明すれば十分であることがIsaacsによって証明されている。
本年度の研究において、GがM-群のとき予想Bが成り立つことが証明された。そしてこれによりGがM-群のときに予想Aが成り立つことも証明された。これはGが超可解群のときを扱ったIsaacsの結果をより一般化したものである。
また予想Bに関しては、Fが標数pの体でG/Op',p(G)(Op',p(G)はp-nilpotentなGの最大正規部分群)がべき零群なら予想Bが正しいことを証明することができた。そしてこれを用いて群GのFitting heightが4以下ならば予想Aが成り立つことを証明することができた。
なおこの研究に関して和田氏(東京農工大)と数回の研究打ち合わせを行った。また大竹氏(群馬大)にはp-モジュラー系に関する部分の証明をお願いした。また二宮氏(信州大)にも有益な助言をいただいた。
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