複雑領域のポテンシャル解析の深化―非線形PDEと理想境界への応用

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17H01092
• 研究種目: 基盤研究(A)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 中部大学 (2019-2020, 2022); 北海道大学 (2017-2018)
• 研究代表者: 相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
• 研究分担者: 志賀 啓成 京都産業大学, 理学部, 教授 (10154189) ; 倉田 和浩 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10186489) ; 須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858) ; 平田 賢太郎 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (30399795) ; 鈴木 紀明 名城大学, 理工学部, 教授 (50154563) ; 正宗 淳 東北大学, 理学研究科, 教授 (50706538) ; 利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748) ; 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035) ; 加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657) ; 堀田 一敬 山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (10725237) ; 野瀬 敏洋 福岡工業大学, 工学部, 助教 (90637993)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: ポテンシャル / 非線形PDE / 理想境界 / 複雑領域 / Dirichlet最小固有値 / 容量的幅 / 大域的可積分性 / 完備リーマン多様体

研究成果の概要

1．任意領域のDirichlet最小固有値と容量的幅との関係を明らかにし，複雑領域をベースにもつシリンダー上の熱方程式の正値優解の大域的可積分性を導いた．2．リッチ曲率が下から支えられた完備リーマン多様体に対して，本質的縮小性の十分条件を導いた．3．半径一定の球に対する容量密度平均の下限は半径が大きくなったとき，極限が0または1に限るという0-1法則を示した．4．n+1次元有界狭義凸領域においてn次元閉修正可能集合を初期データとするディリクレ条件でBrakkeの平均曲率流の時間大域存在定理を証明した．5．開Riemann面のRunge性とstrong disk性の同値性を示した．

自由記述の分野

ポテンシャル論

研究成果の学術的意義や社会的意義

本研究では通常の偏微分方程式論では取り扱えない非常に複雑な領域上での詳しい解析を行い，境界のなめらかさが偏微分方程式の解の境界挙動とどう関係しているかを精密に調べる．このような関係は基本的なラプラス方程式や熱方程式であっても未解明なことが多い．これらの方程式解と密接に関係する境界Harnack原理やIntrinsic UltracontractivityをDirichlet最小固有値や容量的幅と関連付け，その手法をユークリッド空間に限らず，多様体や距離測度空間に拡張するところに本研究の大きな意義がある．