総実体上の保型形式に伴うGalois表現の特徴づけに関する研究

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17H07074
• 研究種目: 研究活動スタート支援
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 学習院大学
• 研究代表者: 吉川 祥 学習院大学, 理学部, 助教 (10803736)
• 研究期間 (年度): 2017-08-25 – 2019-03-31
• キーワード: 楕円曲線 / 保型表現 / モジュラー形式 / ラングランズ対応 / Galois表現

研究成果の概要

総実体上の楕円曲線の保型性に関する研究を行った。これは、フェルマーの最終定理の証明の際に決定的な役割を果たした志村谷山予想の一般化に関するものである。
本研究の以前に得られていた結果は、楕円曲線の定義体が有理数体上アーベルなものに限られていた。本研究では、定義体が13または47を割るある素点において完全分解すると仮定すれば、アーベルという仮定を落としても多くの場合に楕円曲線の保型性が証明できることが分かった。

自由記述の分野

整数論

研究成果の学術的意義や社会的意義

楕円曲線の保型性は、志村谷山予想の直接の一般化であり、数論において重要な予想であるラングランズプログラムやFontaine-Mazur予想の特殊な場合である。したがって、保型性が保証された楕円曲線の範囲を広げることにより、ラングランズプログラムやFontaine-Mazur予想のひとつの証左になりうる。また、楕円曲線にはL関数と呼ばれる重要な関数（楕円曲線の多くの情報を持った複素関数）が付随するが、楕円曲線の保型性を示すことで初めてL関数が良い解析的性質を持つことが保証されるという直接の利点もある。