| 研究実績の概要 |
代表者は、非可換レベル構造つきアーベル多様体のモジュライ空間の基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化$SQ_{g,K}$を構成し、Hilbert点の安定性を証明した(1999)。ただし、$K$は非退化交代2次形式を持つ有限群を表し、アーベル多様体のレベル構造を指定する。$N$は群$K$の位数を表す。基礎環が$Z[\zeta_N,1/N]$となっているのは、$N$を割る素数$p$（悪い素数という）の体の上ではモジュライ空間が構成できていないことを示している。さらに、同じ基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上に、第二のコンパクト化$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を構成し, $SQ^{\rm toric}_{g,K}$から$SQ_{g,K}$への双有理全単射写像を構成した(2010)。これは、二つのモジュライ空間はほぼ同じであることを示している。残る主要な問題はまず第一に基礎環$Z[\zeta_N]$上にモジュライ空間を延長する、すなわち$N$を割る素数$p$の体の上でもモジュライ空間を構成することである。上の二つのどちらが延長できるのか未解決問題であった。現在進展中の研究で、第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上への拡張する理論が進展中である。ここで重要な問題は、悪い素点での振る舞いの記述であるが、1次元の場合精密に記述できるようになった。第二の主要な問題は$SQ^{\rm toric}_{g,K}$がVoronoiコンパクト化にほぼ一致することを証明することである。現在、関連する論文執筆中で、たとえば、4次元Voronoi分割を調べて退化アーベル多様体が被約であることを証明、その論文が完成に近づいている。また、Neron モデルの同変コンパクト化が構成でき、その論文を執筆中である。
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