| 研究実績の概要 |
代表者は、非可換レベル構造つきアーベル多様体のモジュライ空間の基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化$SQ_{g,K}$を構成し、Hilbert点の安定性を証明した(1999)。ただし、$K$は非退化交代2次形式を持つ有限群で、アーベル多様体のレベル構造を指定し、$N$は群$K$の位数を表す。基礎環が$Z[\zeta_N,1/N]$となっているのは、$N$を割る素数$p$（悪い素数という）の体の上ではモジュライ空間が構成できていないことを示している。さらに、同じ基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上に、第二のコンパクト化$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を構成し, $SQ^{\rm toric}_{g,K}$から$SQ_{g,K}$への双有理全単射写像を構成し二つのモジュライ空間の正規化は同型であることを示した(2010)。残る主要な問題はまず第一に基礎環$Z[\zeta_N]$上にモジュライ空間を延長する、すなわち$N$を割る素数$p$の体の上でもモジュライ空間を構成することである。とりわけ、上の二つの延長のどちらが（あるいは両方とも）理論化できるのかも問題である。第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上への拡張する理論が、現在進展中である。また、代表者にとって本研究の出発点であった、Neron モデルの研究が進んでいる。Neron 同変コンパクト化が構成でき、その共著論文1篇は完成、単著1篇を現在執筆中である。
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