研究実績の概要 |
代表者は、非可換レベル構造つきアーベル多様体のモジュライ空間の基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化$SQ_{g,K}$を構成し、ヒルベルト点の安定性を証明した(1999)。ただし、$K$は非退化交代2次形式を持つ有限群で、アーベル多様体のレベル構造を指定し、$N$は群$K$の位数を表す。さらに、同じ基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上に、第二のコンパクト化$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を構成し, $SQ^{\rm toric}_{g,K}$から$SQ_{g,K}$への双有理全単射写像を構成し二つのモジュライ空間の正規化は同型であることを示した(2010)。基礎環が$Z[\zeta_N,1/N]$となっているのは、$N$を割る素数$p$(悪い素数という)の体の上ではモジュライ空間が構成できていないことを示している。残る主要な問題は、$N$を割る素数$p$の体の上でも(一般に可約な)モジュライ空間を構成し、モジュライ空間を平坦に環$Z[\zeta_N]$上まで延長することである。特に、上の二つの延長のどちらが(あるいは両方とも)理論化できるのかが問題であるが、第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上へ拡張する理論が、現在進展中である。 また、代表者にとって本研究の出発点であった、ネロンモデルのコンパクト化の研究が進んでいる。その共著論文原稿は完成、現在、共著者がその最終原稿(texで70ページあまり)の検討を続けている。代表者はその検討を待つ一方で、続編の単著1篇を現在執筆中である。 菅原健氏と共同で「4次元Delaunay分割はすべて各格子点での錘が単体生成である」こと、したがって、「4次元PSQASと呼ばれる標準的退化アーベル多様体は被約である」ことを証明、論文を現在投稿中である。
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