2021 年度研究成果報告書

非可換解析学と関数解析的群論の展開

研究課題

PDF

研究課題/領域番号	17K05277
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
研究分野	解析学基礎
研究機関	京都大学
研究代表者	小沢登高京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60323466)
研究期間 (年度)	2017-04-01 – 2022-03-31
キーワード	函数解析 / 解析的群論
研究成果の概要	群は与えられた構造の対称性を記述するための数学的言語であり、科学研究全般において自然に表れる、基本的かつ重要な研究対象である。これまでの群の研究では主に代数学的あるいは幾何学的なアプローチが取られることが多かった。本研究計画では、解析学的手法を用いて群の大雑把ではあるが頑健な幾何学的情報を精密かつ繊細な代数学的構造解析に繋げる研究を行った。このことにより、それまで無関係であった分野を結び付け、未解決問題を解決するのみならず、新たな研究領域を切り開いた。特に自由群自己同型群の剛性に関する著名未解決問題を解決するという大きな成果を得た。
自由記述の分野	作用素環論
研究成果の学術的意義や社会的意義	自由群自己同型群は最も普遍的な対称性そのものに内在する対称性を記述する数学的言語である。この群が剛性を持つか否かは著名な未解決問題であったが、本研究計画ではそれを肯定的に解決しており、研究成果の学術的価値は極めて高い。この研究成果には、実験数学及び工業数学において使われている積置換アルゴリズムに関する応用も存在する。積置換アルゴリズムは与えられた群においてランダムサンプリングを行うアルゴリズムとして高性能であることが経験上知られてきたが、自由群自己同型群の剛性定理により、積置換アルゴリズムが実際に高性能であることの数学的な保証が得られた。