| 研究課題/領域番号 |
17K05296
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
解析学基礎
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (70244671)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 超越整関数 / Mandelbrot集合 / Julia集合 / Fatou集合 / 擬等角写像 / 中立サイクル / 多項式類似写像 / 構造有限超越整関数 |
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| 研究成果の概要 |
多項式と超越整関数の力学系を主に複素解析的手法を用いて研究した．特に著しい結果として，Mandelbrot集合において数値計算上見られる以下の現象について，数学的に定式化し，実際にそのような構造が存在することを証明した：Mandelbrot集合内の小さいMandelbrot集合を1つとり，その中で放物型周期点を持つもの，または臨界点0の軌道が前周期的になるものに対応するパラメータを選び，その近傍を拡大していくと，対応するJulia集合を摂動して得られるCantor型のJulia集合に似た構造とそれによる入れ子構造が見られ，最終的には「更に小さいMandelbrot集合」が出現する．
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| 自由記述の分野 |
力学系
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
概要で述べた成果は「相空間上の対象物であるJulia集合がパラメータ空間であるMandelbrot集合内のあちこちに現れる」という驚くべき現象を数学的に解明するもので，そのインパクトと意義は大きい．また「Mandelbrot集合の境界のHausdorff次元は2である」という宍倉による有名な結果に対して「Mandelbrot集合の境界にはCantor型のJulia集合の擬等角写像による像で，Hausdorff次元が2にいくらでも近いものがあるから」という，非常にわかりやすい説明ができるようになったのは意義深い．これは社会に向かって力学系理論の面白さをアピールするための非常に強力な武器となる．
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