超臨界型非線形偏微分方程式の解の大域挙動

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05312
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 数学解析
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 三浦 英之 東京工業大学, 理学院, 教授 (20431497)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 非線形偏微分方程式

研究成果の概要

非圧縮性Navier-Stokes方程式の初期値境界値問題および解の正則性の研究を行った．特に3次元半空間上のNavier-Stokes方程式の初期値境界値問題に対しエネルギーが無限大となる初期速度場に対して，時間大域的な弱解が存在することを示した．また解の正則性に関する研究として，初期速度場の規格化されたエネルギーがある近傍で十分小ければ，その弱解は少なくとも短時間は空間局所的に滑らかであることを示すことができた．また，重み付きの2乗可積分空間に属する初期値に対し，弱解が滑らかとなる領域について新しい評価を得ることができた．

自由記述の分野

非線形偏微分方程式

研究成果の学術的意義や社会的意義

非圧縮性Navier-Stokes方程式は流体力学の基礎方程式としての重要性から古くから多くの研究が行われている．しかし，方程式のもつ非局所性から生じる困難から，エネルギーが無限大となるような特異性をもつ速度場の研究は未解明の部分が多かった．本研究では非局所性を扱う上で鍵となる圧力の評価に関して新しい技術を導入することにより，弱解の時間大域的存在や局所正則性に関する成果を得ることができた．今回用いられた手法は非圧縮性粘性流体の数理解析における今後の研究においても有用になると期待できる．