確率微分方程式における構造保存数値解法の構成

2020 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17K18736
• 研究種目: 挑戦的研究(萌芽)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 解析学、応用数学およびその関連分野
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
• 研究期間 (年度): 2017-06-30 – 2021-03-31
• キーワード: 確率微分方程式 / 構造保存数値解法 / 離散微分幾何 / 非線形差分

研究成果の概要

Stratonovich 積分ではなく伊藤積分に立脚した場合にのみ線形確率微分方程式に特有の数学構造が表出することに着目し確率微分方程式の発展作用素に対応する離散的な平方作用素を導入することで二次形式構造を保存する新しい方法論を考案し、これによって構造保存数値解法を構成した．
さらに構造保存型の微分幾何の離散化法を提案することで対象領域空間を多次元にすることを可能とするとともに，微分作用素の離散化として非線形差分を新たに提案することで波動型問題について進行波の進行速度方向計算が不要な状況で数値安定な近似解を得られることを示した．

自由記述の分野

数値解析学

研究成果の学術的意義や社会的意義

確率微分方程式は数学理論上の問題のみならず，気象分野，金融問題や伝染病感染予測等で現れる社会的にも重要な数学的ツールである．その基本たる伊藤積分と時間対称型のStratonovich積分との間に本質的な違いは無いものと認識されているが伊藤積分にのみ表出する数学構造がある．この事実を利用し，発展作用素に対応する離散的な平方作用素を導入して二次形式構造を保存する方法論を考案，構造保存数値解法を構成することで確率微分方程式の近似数値解計算の向上に本質的に寄与する成果を得た．