| 研究概要 |
モティーフ理論(混合モティーフまたは純モティーフ層,混合モティーフ層)についての研究を進めた.
1.高次Chow群についての最も重要な定理はlocalization theoremである.これをトーリック多様体のうえのサイクルを使って定式化,証明をすることを考察した.トーリック多様体には余次元1の不変因子があり、これを面とみる。面とプロパーに交わるサイクルの生成する自由アーベル群は、面との交叉を境界作用素としてもつ複体をなす(トーリックサイクル複体とよぶ)。これに対し代数的単体を用いて同様に構成された複体をサイクル複体とよぶ。代表者は前者から後者への標準的準同型Psiを構成した。またトーリック多様体のサイクルと、トーリック多様体をblow-upしたとき得られるサイクルの逆像が、Psiを施すとおなじホモロジー類を持つことを示した。
2.代数曲面のモティヴィックコホモロジーの具体的な計算.代数多様体のモティヴィックコホモロジーは一般に定義されているが、曲線と曲面の場合に特異点解消をつかって具体的な表示を得た。また,代数曲面の交叉Chow群と通常のChow群を比較した.とくに正規な曲面の場合には一致し、これよりChow群の交叉理論(Mumfordの交叉理論と一致する)が得た。またファイバー構造をもつ曲面に交叉Chow群の構成を適用し,幾何的なheight pairingが得られることを見出した.
3.代数多様体のChow群のうえに,Mumfordの意味でのBiextensionが存在することが知られている.この構成をつぎのように別の方法で行った.一般の群のうえのBiextensionの構成の手続きはGrothendieckにより知られている.群Gの自由分解から別の群Tへの次数1の写像を与えればよい。Chow群の自由分解から1次元トーラスへの次数1の写像を、サイクル複体とその積写像を用いて構成した。
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