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2009 年度 研究成果報告書

代数的サイクルのホッヂ理論的および数論的研究

研究課題

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研究課題/領域番号 18340003
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 代数学
研究機関東京大学

研究代表者

斎藤 秀司  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50153804)

研究期間 (年度) 2006 – 2009
キーワード代数的サイクル / モチフィックコホモロジー / Chow群 / 高次Chow軍 / Abelの定理 / Hodge理論 / p進Hodge理論 / 高次元類体論
研究概要

当該研究は次の2つの部門からなる.
(I)代数的サイクルのHodge理論的研究
(II)代数的サイクルの数論的研究.
以下,特に部門(II)に関連する成果ついて説明する.部門(I)の成果については,研究成果において説明する.
モチフィックコホモロジーとは,代数体の整数環のイデアル類群や単数群,代数多様体のChow群などを一般化したもので,数論的多様体のL-関数とも密接に関連する重要な研究対象である.これにたいする重要な未解決問題として数論的多様体のモチフィックコホモロジーの有限性予想がある.これは,代数体のイデアル類群が有限であること,あるいは代数体の整数環の単数群が有限生成であるという古典的な基本定理の高次元版である.この予想については,これまで上述1次元の場合を除いて殆ど肯定的な結果はなかった.当該研究の最初の成果として,この問題に対する一般的なアプローチを発見した.基本的なアイデアは上述の予想を加藤予想と関係付けることである.加藤予想とは,上述の問題とはまったく別のコンテクストにおいて加藤和也氏により1986年に提出された予想である.加藤氏は,有限体上の射影的で滑らかな多様体X,あるいは整数環上のregular proper flatなスキームXにたいし,ある数論幾何的な不変量を定義して,これが消えていることを予想した.Xが有限体上の曲線,あるいは代数体の整数環のスペクトラムの場合の加藤予想は,有限体上の一変数関数体あるいは代数体Kのブラウアー群に関する古典的類体論の基本事実(K上の中心的単純環にたいするHasse原理)に同値である.当該研究では,加藤予想を「適当なスキームの圏上で定義される一般的なホモロジー理論に付随するBloch-Ogusスペクトラル系列のE^2項の適当な条件のもとでの消滅定理」という一般的枠組みにおいて考察することにより,特異点の解消を認めたうえで,有限体の多様体にたいする加藤予想を解決することに成功した.一方,最近Gabberはde Jongによるalterationを精密化することに成功した.alterationの次数をあらかじめ固定した(標数と異なる)素数と素に取ることが可能であることを示したのである.当該研究の次の段階の成果はこれを用いることにより,有限体の多様体にたいする加藤予想の標数と素な部分を特異点の解消の仮定なしに示すことに成功したことである.

  • 研究成果

    (19件)

すべて 2010 2009 2008 2007 2006

すべて 雑誌論文 (8件) 学会発表 (11件)

  • [雑誌論文] A p-adic regulator map and finiteness results for arithmetic schemes2010

    • 著者名/発表者名
      S. Saito, K. Sato
    • 雑誌名

      to appear in Documenta Math.

  • [雑誌論文] A finite theorem for zero-cycles over p-adic fields2009

    • 著者名/発表者名
      S. Saito, K. Sato
    • 雑誌名

      to appear in Annals of Mathematics

  • [雑誌論文] Algebraic cycles and Mumford-Griffiths invariants, to appear in Amer2009

    • 著者名/発表者名
      J. Lewis, S. Saito
    • 雑誌名

      J.of Math.

  • [雑誌論文] Surfaces over a p-adic field with infinite torsion in the Chow group of 0-cycles2008

    • 著者名/発表者名
      M. Asakura, S. Saito
    • 雑誌名

      Algebra and Number Theory 1

      ページ: 163-181

  • [雑誌論文] Maximal components of Noether-Lefschetz locus for Beilinson-Hodge cycles2008

    • 著者名/発表者名
      M. Asakura, S. Saito
    • 雑誌名

      Math.Ann. 341

      ページ: 169-199

  • [雑誌論文] Beilinson's Hodge conjecture with coefficient for open complete intersections2007

    • 著者名/発表者名
      M. Asakura, S. Saito
    • 雑誌名

      London Math.Society Lecture Note Series 344

      ページ: 3-37

  • [雑誌論文] Generalized Jacobian rings for open complete intersections2006

    • 著者名/発表者名
      M. Asakura, S. Saito
    • 雑誌名

      Math.Nachr. 279

      ページ: 5-37

  • [雑誌論文] Noether-Lefschetz locus for Beilinson-Hodge cycles I2006

    • 著者名/発表者名
      M. Asakura, S. Saito
    • 雑誌名

      Math.Zeit. 252

      ページ: 251-237

  • [学会発表] Finiteness results for motivic cohomology of arithmetic schemes2009

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Quadratic forms, linear algebraic groups and cohomology
    • 発表場所
      University of Hyderabad, Hyderabad, India
    • 年月日
      20090100
  • [学会発表] 類体論の高次元化と高次化2009

    • 著者名/発表者名
      斎藤秀司
    • 学会等名
      高木貞治50年祭記念学術講演会
    • 発表場所
      東京大学数理科学研究科, 東京
    • 年月日
      2009-12-09
  • [学会発表] Cohomological Hasse principle, finiteness of motivic cohomology, special values of zeta functions2009

    • 著者名/発表者名
      斎藤秀司
    • 学会等名
      代数学シンポジウム
    • 発表場所
      明治大学, 東京
    • 年月日
      2009-08-05
  • [学会発表] Roitman's theorem for 1-cycles on arithmetic schemes2008

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Algebraic Geometry Seminar
    • 発表場所
      University of Munich, Munich, Germany
    • 年月日
      20080700
  • [学会発表] A conjecture of Colliot-Th'el`ene on zero-cycles over local fields2007

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      G'eom'etrie arithm'etique et vari'et'es rationnelles
    • 発表場所
      CIRM, Luminy, France
    • 年月日
      20071200
  • [学会発表] Surfaces over a p-adic field with infinite torsion in the Chow group of 0-cycles2007

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Algebraic K-theory and its Applications
    • 発表場所
      ICTP, Trieste, Italy
    • 年月日
      20070600
  • [学会発表] Surfaces over a p-adic field with infinite torsion in the Chow group of 0-cycles2007

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Workshop on the geometry of holomorphic and algebraic curves in complex algebraic varieties
    • 発表場所
      CRM, Montreal, Canadan
    • 年月日
      20070500
  • [学会発表] Surfaces over a p-adic field with infinite torsion in the Chow group of 0-cycles2007

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Algebraic cycles, motives andA^1-homotopy theory over general bases
    • 発表場所
      Regensburg, Germany
    • 年月日
      20070200
  • [学会発表] Finiteness results for motivic cohomology of arithmetic schemes2006

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Arithmetic Geometry
    • 発表場所
      RIMS, Kyoto, Japan
    • 年月日
      20060900
  • [学会発表] Noether-Lefschetz problem for Beilinson-Hodge cycles on open surfaces2006

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Antalya Algebra Days VIII
    • 発表場所
      Antalya, Tuekey
    • 年月日
      20060500
  • [学会発表] Weak Bloch-Beilinson conjecture for zero-cycles over local fields2006

    • 著者名/発表者名
      Shuji Saito
    • 学会等名
      Cohomological approaches to rational points
    • 発表場所
      MSRI, Berkeley, USA.
    • 年月日
      20060300

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公開日: 2011-06-18   更新日: 2016-04-21  

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