| 研究概要 |
非特異代数多様体Xから、自分自身への全射正則写像fが、非定値写像であり、かつ同型写像でないとき、非自明な自己準同型写像(endomorphism)という。この時、fは必然的に有限写像となり、更にXの小平次元が非負ならば、fは不分岐である事が知られている。私の研究目的は、非自明な自己準同型写像を数多く持つ代数多様体の構造を、代数多様体の分類論の視点から調べることである。代数多様体の自己準同型写像は基本的対象でありながら、主に小平次元が負であるファノ等質空間(例えば、射影空間、グラスマン多様体)の場合に単発的に調べられているだけだった。又、複素力学系では、主に射影空間の上の非自明な自己準同型写像が研究されてきたが、我々の研究対象は写像でなく、多様体の構造である。それは、楕円曲線やアーベル多様体、トーリック多様体を含むクラスであり、非常に簡明な構造を持つと予想される。実際、私は論文(Endomorphisms of Smooth Projective 3-F olds with Nonnegative Kodaira Dimension, Publ. RIMS, 2002)において、極小モデル理論と楕円ファイバー空間の理論とを駆使して、小平次元が非負の非特異3次元射影代数多様体Xで、非自明な自己準同型写像を許すもののほぼ、完全な記述に成功した。唯一、未解決として残された場合が、Xの小平次元が1かつXの飯高ファイブレーションのファイバーがアーベル曲面の場合であった。今回、この場合も中山昇氏(京大・数理研)との共同研究で完全に解決した。更に我々は以前の結果を精密化し、以下の完全な結果を得た:小平次元が非負な3次元非特異射影代数多様体Xが、非自明な全射自己準同型写像を持つ為の必要十分条件は、Xの適当なエタール・ガロワ被覆Xがとれて、次元が2以下の或る非特異多様体Wの上に、ガロワ群の作用と同変なアーベリアン・スキームの構造を持つ事である。
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