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研究代表者の青木は、有限体上定義されたフェルマー曲線の商として得られる代数曲線が超特異であるための条件を決定した。この部分の研究は、これまでに知られている結果を使うと組み合わせ論的な考察で実行することが出来た。しかしその場合であっても、その合同ゼータ関数を具体的に決定することは必ずしも容易ではない。そこで、その特別な場合としてフェルマー曲線の次数が二つの素数の積であるとき、超特異な商曲線の合同ゼータ関数の形を研究した。それを実行するためには、対応するヤコビ和の形を決定する必要があるが、ヤコビ和はガウス和の積として表されるので、ガウス和の明示的な形を求める研究を行った。その方法として、本研究で採用したのは森田のp進ガンマ関数である。グロスとコブリッツの研究、およびそれを精密化したコールマンの研究により、ガウス和をp進ガンマ関数の積で表すことが出来るという事実と、フェルマー曲線の商曲線が超特異である場合には、対応するp進ガンマ関数の積が具体的に計算されるという事実をもとに、合同ゼータ関数の形を具体的に決定した。この研究は、符号理論などへの応用が期待される。また、研究分担者の藤井は、Farey数列の分布の問題がRiemann予想と深く関連して重要な問題であることを見出し、Diophantos近似に関連して導入されたHeckeのゼーター関数が重要な役割をはたすことを示した。また、このゼーター関数の特殊値の数論的性質についていくつかの予想を提示し、特殊な場合にそれを証明することに成功した。
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