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1. 本研究の目的は、重心配置空間という具体的な空間を構成し、そのホモロジーの情報からホモトピー論の情報を読み取ることである。平成21年度は重心配置空間の一種である多角形のモジュライ空間を精密に研究し、そのホモロジーについてここ10年ほど注目されている予想を解決した。一つのロボットが与えられたとき、その動作全体のなす空間を研究することは興味深い。ロボットとして有名なものにクモの巣装置があり、その動作設計のモジュライ空間としては多角形のモジュライ空間が有名である。
2. 一般に与えられた多様体上のモース関数のうち、最も効率のよいセル分割を与えるものをパーフェクトなモース関数という。最良なモース関数ということもある。多様体が単連結の場合は、パーフェクトなモース関数は理論上存在するが具体的に構成するのは難しい。多様体が非単連結の場合は、その存在さえ不明である。多角形のモジュライ空間は非単連結であるが、その上のパーフェクトなモース関数を構成することに成功した。
3. パーフェクトなモース関数が存在すると、それに付随するチェイン複体を非常に効果的に調べることができる。実際、モース・スメール・ヴィッテン複体として扱うことができるからである。我々のモース関数の場合もチェイン複体の挙動を完全に決定できた。応用として、多角形のモジュライ空間のホモロジーには高次2トーションはないという結論が得られた。これはここ10年ほど予想されていたことの解決である。
4. LSカテゴリーや位相的複雑さという不変量は、多様体上のモース関数と密接に関係する。我々のモース関数の別の応用として、多角形のモジュライ空間のこれら不変量に関して精密な評価が得られることになる。
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