粘性解理論に基づくハミルトン-ヤコビ方程式の漸近解の研究

2008 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 18540165
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 基礎解析学
• 研究機関: 富山大学
• 研究代表者: 藤田 安啓 富山大学, 大学院・理工学研究部(理学), 准教授 (10209067)
• 研究分担者: 石井 仁司 早稲田大学, 教育学部, 教授 (70102887) ; 吉田 範夫 富山大学, 理工学研究部, 教授 (80033934) ; 池田 榮雄 富山大学, 理工学研究部, 教授 (60115128) ; 石井 克幸 神戸大学, 大学院・海事科学研究科, 准教授 (40232227)
• 連携研究者: 石井 仁司 早稲田大学, 教育学部, 教授 (70102887) ; 吉田 範夫 富山大学, 理工学研究部, 教授 (80033934) ; 池田 栄雄 富山大学, 理工学研究部, 教授 (60115128) ; 石井 克幸 神戸大学, 大学院・海事科学研究科, 准教授 (40232227)
• 研究期間 (年度): 2006 – 2008
• キーワード: 粘性解理論 / Hamilton-Jacobi方程式 / 漸近解 / 収束率

研究概要

まず,領域がn次元ユークリッド空間全体のとき, Ornstein-Uhlenbeck作用素を含むHamilton-Jacobi方程式の解の時間無限大での漸近解への収束の様子を明らかにした. 続いて,このHamilton-Jacobi方程式からOrnstein-Uhlenbeck作用素の粘性項が消去された場合に,漸近解への収束の様子を明らかにした. 前者は確率制御理論への応用を持っている. 後者は, Aubry-Mather理論に基づく解の表現を新たに与えることを可能にした.
次に,領域がn次元ユークリッド空間全体のとき, Hamilton-Jacobi方程式の解の時間無限大での漸近解への収束率を遅くする要因がAubry集合の幾何学的な性質と初期値の下限との関係であることを明らかにした. これは,従来の研究が漸近解への収束のみを考えるものであった点から,収束率を遅くする要因を明らかにしたと言う点で一歩踏み込んだ研究と考えられる.
その他として, 上記研究に関連して2つの研究成果が得られた. ひとつは, 相加相乗の不等式, ヘルダーの不等式,ヒルベルトの不等式の証明をAubry-Mather理論により導くというものである. もうひとつは, Ornstein-Uhlenbeck作用素がポアンカレの不等式においてどのような役割を果たしているかについて明らかにしたものである.

研究成果

• [雑誌論文] Inequalities and the Aubry-Mather theory of Hamilton-Jacobi equations (2009)
  • 著者名/発表者名: Fujita, Y., Ohmori, K
  • 雑誌名: Communications on Pure and Applied Analysis Vol.8, No.2 ページ: 683-688
• [雑誌論文] Asymptotic solutions with slow convergence rate of Hamilton Jacobi equations in Euclidean n space (2007)
  • 著者名/発表者名: Fujita, Y., Uchiyama,K
  • 雑誌名: Differential and Integral Equations Vol.20 ページ: 1185-1200
• [雑誌論文] On a critical role of Ornstein-Uhlenbeck operators in the Poincare's inequality (2006)
  • 著者名/発表者名: Fujita, Y
  • 雑誌名: Differential and Integral Equations Vol.19 ページ: 1321-1332
• [雑誌論文] Asymptotic solutions of Hamilton-Jacobi equations in Euclidean n space (2006)
  • 著者名/発表者名: Fujita, Y., Ishii, H. and Loreti, P
  • 雑誌名: Indiana Univ. Math. J Vol. 55 ページ: 1671-1700
• [雑誌論文] Asymptotic solutions of viscous Hamilton-Jacobi equations with Ornstein-Uhlenbeck operator (2006)
  • 著者名/発表者名: Fujita, Y., Ishii, H. and Loreti, P.
  • 雑誌名: Communications in PDE Vol.31 ページ: 827-848
• [学会発表] Aubry-Mather理論から導かれる不等式について (2008)
  • 学会等名: 実解析学シンポジウム2008
  • 発表場所: 山口大学
  • 年月日: 20081107-09
• [学会発表] Hamilton-Jacobi方程式の商Aubry集合の完全非連結性について (2008)
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会, 函数方程式分科会
  • 発表場所: 東京工業大学
  • 年月日: 20080924-27
• [学会発表] Hamilton-Jacobi方程式により導くことができる不等式について (2008)
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会, 函数方程式分科会
  • 発表場所: 東京工業大学(大森 克史 氏との共同研究)
  • 年月日: 20080924-27
• [学会発表] Inequalities induced by Hamilton-Jacobi equation (2008)
  • 学会等名: 研究集会「Viscosity, metric and control theoretic methods, In nonlinear PDEs:analysis,approximations, applications」
  • 発表場所: SAPIENZA Universita di Roma
  • 年月日: 20080902-05
• [学会発表] Some relations between Aubry sets and quotient Aubry sets (2008)
  • 学会等名: 研究集会「Viscosity Solutions of Differential Equations and Related Topics」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 年月日: 20080625-27
• [学会発表] Hamilton-Jacobi方程式に対する内部Dirichlet問題について (2008)
  • 学会等名: Mini-Workshop「KAM理論と粘性解」
  • 発表場所: 福岡大学
  • 年月日: 20080319-20
• [学会発表] On uniqueness sets for H-J equations (2008)
  • 学会等名: 研究集会「非線形偏微分方程式とその応用」
  • 発表場所: 神戸大学
  • 年月日: 20080108-11
• [学会発表] Hamilton-Jacobi方程式の最小一意性集合とカントール集合 (2007)
  • 学会等名: 研究集会「確率論とPDE」
  • 発表場所: 広島大学
  • 年月日: 20071015-16
• [学会発表] n次元ユークリッド空間上のHamilton-Jacobi方程式の最小一意性集合の存在と非存在 (2007)
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会, 函数方程式分科会
  • 発表場所: 東北大学
  • 年月日: 20070921-24
• [学会発表] Existence and nonexistence of the minimal uniqueness set for Hamilton-Jacobi equations (2007)
  • 学会等名: 粘性解生誕25周年国際研究集会(International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity Solution)
  • 発表場所: 東京大学・数理科学研究科
  • 年月日: 20070604-06
• [学会発表] R^n上のHamilton-Jacobi方程式の解の漸近解への収束率の遅延要因 (2007)
  • 学会等名: 日本数学会2007年度年会, 函数方程式分科会
  • 発表場所: 埼玉大学理学部(内山 和哉 氏との共同研究)
  • 年月日: 20070327-0330
• [学会発表] Hamilton-Jacobi方程式の解の構造を決める極小な集合について (2007)
  • 学会等名: 九州関数方程式セミナー
  • 発表場所: 九州大学
  • 年月日: 2007-11-02
• [学会発表] R^n上のHamilton-Jacobi方程式の解の定常解への収束率とその周辺 (2006)
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会, 実函数論分科会特別講演
  • 発表場所: 大阪市立大学
  • 年月日: 20060919-0922
• [学会発表] Convergence rates of asymptotic solutions to Hamilton-Jacobi equations in Euclidean n space (2006)
  • 学会等名: 研究集会「Viscosity Solution Theory of Differential Equations and its Developments」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 年月日: 20060531-0602