| 研究概要 |
衝突積分項(collision term)が長距離型相互作用をもつボルツマン方程式の解の滑らかさを擬微分作用素,paradifferential理論などの超局所解析の方法を用いて研究した.気体運動論の基本方程式であるボルツマン方程式は,微分積分方程式であり,物理的に重要なモデルでは,その積分項の核が粒子の衝突角度を変数として特異性を持つ.これまでの多くの研究は特異性をもつ角度が0の部分を取り去った条件(Grad's angular cut-off assumption)の下で議論されてきた.本研究では、長距離型相互作用を考慮した積分核が特異性をもつ場合には,その特異性に応じて衝突積分項が作用素として、分数べき、あるいは、対数オーダーの楕円性をもつことに着目し、解の滑らかさ(regularity)について解析を行った。まず、ボルツマン方程式の非線型項を楕円型作用素の分数べきに置き換えた近似線型モデル方程式の解に対して、Hoermander Lie bracket条件による,劣楕円型評価の導出と解の滑らかさの解析を行った。また、paradifferential理論を用いて上記モデル方程式の結果を半線型方程式へ拡張した。さらに、2粒子の衝突の際に働く斥力ポテンシャルを、従来考察されていた距離のマイナス乗からDebye-Yukawa型にかえると、対数オーダーの楕円性を与える積分核の特異性が生じることを見いだした.空間について一様な(homogeneous)ボルツマン方程式の初期値問題に対して、衝突積分項の核が2粒子の相対速度によらない場合(non-Maxwellian case)について考察し、線形熱方程式と同様な解の平滑効果(smoothing effect)がおこることを、対数オーダーのような弱い楕円性しか持たない場合も含めて、一般的に示した。
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