| 研究概要 |
気体運動論の基本方程式であるボルツマン方程式は,物理的に重要なモデルでは,その衝突積分項(collision term)の積分核が粒子の衝突角度を変数とした特異性を持つ。本研究では、積分核の特異性に着目して、ボルツマン方程式が空間に一様な場合(spatially homogeneous)と非一様な場合(spatially inhomogeneous)との両者について、解の平滑効果(smoothing effect)と正則性効果(regularizing effect)とを示した。これらの結果により、角度の特異性を取り去らない(non-cutoff)ボルツマン方程式は熱方程式あるいはコルモゴロフ方程式のような、解の滑らかさを享受する方程式であることが明らかとなった。Non-cutoffで空間非一様なボルツマン方程式の滑らかな解の存在証明は、衝突積分核を擬微分作用素論などの超局所解析理論を駆使して評価することにより、本研究によって初めて明らかとなった。また、non-cutoffボルツマン方程式と同様な性質をもつランダウ方程式について、空間一様、Maxwellian moleculeな場合には、熱方程式の初期値問題と全く同一な、超解析的平滑効果(ultra-analytic smoothing effect)が起こることを明らかにした。さらに、空間一様なnon-cutoffボルツマン方程式に対しては、かなり一般的な条件の下、Gevrey級関数空間での平滑効果を示した。
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