| 研究課題/領域番号 |
18K03356
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
柴田 将敬 東京工業大学, 理学院, 助教 (90359688)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | Mahler予想 / 凸幾何学 / 非線形楕円型方程式 / 変分問題 |
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| 研究実績の概要 |
凸幾何学や非線形楕円型方程式に関連する変分問題について、いくつかの研究を推進した。主なものは次の2つ。
(1)：Mahler予想に関する成果の公表と研究を進めた。
Mahler予想を3次元の場合に肯定的に解決した論文[Symmetric Mahler's conjecture for the volume product in the 3-dimensional case]のDuke Math. J.への掲載が決定し、オンライン版が掲載された。また、3次元で直交群O(3)の有限部分群Gを固定し、G不変な3次元凸体全体でMahler体積を最小化する問題に関する結果について、国際研究集会[Conference on Convex, Discrete and Integral Geometry (Germany)]で発表した。そして、この結果を高次元など未解決な部分へ手法を応用する研究を行い、高次元で適当な対称性も持つ場合に、既存の結果を拡張した結果が得られることが分かった。これは入江博氏（茨城大学）との共同研究である。
(2)：ある準線形方程式の正値解の漸近挙動について研究をすすめた。
昨年度、非線形項の増大度がH^1臨界の場合の正値解の漸近挙動について、適当なスケーリングの下で、正値解がTalenti関数に漸近することを明らかにしたが、そこでは、空間3次元の場合だけ弱い結論しか得られていなかった。これは空間3,4次元では極限であるTalenti関数のL^2ノルムが無限大になる影響で、低い次元になるほど精密なエネルギー評価を得ることが困難になることが原因であった。今年度は、3次元の場合に、正値解の漸近挙動をより詳しく解析することにより、問題を解決することが出来た。これは足達慎二氏（静岡大学）・渡辺達也氏（京都産業大学）との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Mahler予想に関して、3次元におけるMahler予想の解決を雑誌Duke Math. J.に発表できたことは、凸幾何学における重要な進展を意味する。
また、準線形楕円型方程式の漸近挙動においては、空間3次元でTalenti関数に漸近する解の詳しい漸近挙動を解析出来たことは、技術的に大きな意味を持つと考えられる。例えば、Sobolevの臨界埋め込みに関係する問題では、3次元で似たような困難さが出現する場合が知られており、そこへの応用も期待される。
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| 今後の研究の推進方策 |
Mahler予想に関しては、群対称性を持つ凸体のMahler体積最小化問題について、これまで得られた結果を論文にまとめ、公表することを目指す。そして高次元の問題やより対称性の低い問題へ研究を進める。これは入江博氏（茨城大学）と共同で研究を進める。
もう一つ、今年度、非線形楕円型方程式に関して、メトリックグラフ上で非線形楕円型方程式の解の存在や漸近挙動に関する研究に着手したので、その研究を進める。これは、倉田和浩氏（首都大学東京）との共同研究である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナの影響により、年度末に講演を予定していた研究集会・研究打ち合わせが中止となったため。
次年度の旅費に充てる予定である。
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