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2022 年度 実施状況報告書

変分的手法の発展と非線形偏微分方程式や凸幾何学への応用

研究課題

研究課題/領域番号 18K03356
研究機関名城大学

研究代表者

柴田 将敬  名城大学, 理工学部, 准教授 (90359688)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2024-03-31
キーワードMahler予想 / 凸幾何学
研究実績の概要

凸幾何学における長年の未解決問題である、Mahler予想に関連する研究を行った。より具体的には、n次元空間に作用する直交群O(n)の離散部分群Gを指定し、群Gの作用に関する対称性を持つ凸体全体に対してvolume productを最小化する問題について研究を進めた。なお、この問題は、Mahler予想を一般化した問題となっている。
特に、高次元の場合に、cubeが不変となるSO(n)の部分群と、simplexが不変となるSO(n)の部分群について、それぞれの群作用に関する対称性を持つ凸体全体に対して、volume productの最小化する問題に取り組んだ。
前年度までに、最良の不等式の証明は完了していたが、本年度は、最小値を達成する等号条件を明示する結果を得た。これらの結果は、入江博 氏(茨城大学)との共同研究に基づき、まとめた論文[H. Iriyeh and M. Shibata, Minimal Volume Product of Convex Bodies with Certain Discrete Symmetries and its Applications]は、International Mathematics Research Noticesへ掲載が決定した。
その他、既に掲載が決定していた論文[H. Iriyeh and M. Shibata, Minimal volume product of three dimensional convex bodies with various discrete symmetries, Discrete Comput. Geom. 68 (2022), no. 3, 738-773]が出版された。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

未解決問題である、高次元でのMahler予想に関して、部分的な結果を得られたため。

今後の研究の推進方策

対称性を持つ3次元凸体全体のvolume product最小化問題について、未解決な部分に取り組む。
より具体的には、未解決部分で難易度が低いと考えられる順に、D_2対称、S_4対称、S_2n対称、C_n対称性を持つ場合について、最良な不等式の証明と等号条件の明示について研究を行う。

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍により、国際研究集会における成果発表の機会が得られなかったため。

2023年6月に開催予定の国際研究集会"The 13th AIMS Conference on Dynamical Systems,
Differential Equations and Applications, Wilmington, NC USA"において、研究成果を発表するための旅費として使用する。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2023 2022

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (4件) (うち招待講演 4件)

  • [雑誌論文] Minimal Volume Product of Three Dimensional Convex Bodies with Various Discrete Symmetries2022

    • 著者名/発表者名
      Iriyeh Hiroshi、Shibata Masataka
    • 雑誌名

      Discrete & Computational Geometry

      巻: 68 ページ: 738~773

    • DOI

      10.1007/s00454-021-00357-6

    • 査読あり
  • [学会発表] 束縛条件下でのエネルギー最小化問題とリアレンジメント不等式2023

    • 著者名/発表者名
      柴田将敬
    • 学会等名
      室蘭非線形解析研究会
    • 招待講演
  • [学会発表] 凸体に関するMahler 予想について2022

    • 著者名/発表者名
      柴田将敬
    • 学会等名
      さいたま数理解析セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] H^1 臨界項を持つ準線形楕円型方程式の正値解の漸近挙動2022

    • 著者名/発表者名
      柴田将敬
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会 函数方程式論分科会特別講演
    • 招待講演
  • [学会発表] 凸体に関するMahler 予想について2022

    • 著者名/発表者名
      柴田将敬
    • 学会等名
      東北大学応用数理解析セミナー
    • 招待講演

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公開日: 2023-12-25  

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