研究成果の概要 |
Kirchhoff方程式の解析には,時間に依存する係数をもつ2階線形双曲型偏微分方程式のエネルギー評価式が必要である. 本研究ではこれまで得られた既存の結果を見直し係数のかかり方を正確に同定し非線形問題に適用可能な形にした.証明は係数に軟化子を作用させ係数の微分可能性を緩めて, 結果としてGevrey空間でのエネルギー評価式を得た. 本研究とは別に一般領域上でBesov空間を,スペクトル分解をとおして定義し古典的なBesov空間の緒性質が得られた.この結果の応用として, ヘルダー型の双線形評価式が得られた. この評価式は非線形偏微分方程式の基本的な道具である.
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研究成果の学術的意義や社会的意義 |
Kirchhoff方程式は準線形双曲型偏微分方程式であり, その解析は非常に難しいことで知られている. 1876年にG. Kirchooffは彼の著書で1次元の弦の非線形振動を記述する方程式として提唱して以来, 1940年 S. Bernsteinにより時間大域的な実解析解を有界区間上で存在することを証明し, それ以来, 実解析的なクラスをGevrey 空間やSobolev空間に広げようと国内外の多くの研究者が取り組んだにもかかわらず未だ満足のいく結果が得られていない. この問題は80年来の未解決問題である. この問題を解決することは学術的にも非常に重要な意義があると思われる.
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