2021 年度研究成果報告書

巨大基数を用いた集合論的多元宇宙の解析

研究課題

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研究課題/領域番号	18K03403
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分12030:数学基礎関連
研究機関	早稲田大学
研究代表者	薄葉季路早稲田大学, 理工学術院, 教授 (10513632)
研究期間 (年度)	2018-04-01 – 2022-03-31
キーワード	巨大基数公理 / 集合論的多元宇宙 / 集合論的地質学 / 集合論的位相空間論 / ジェネリック巨大基数
研究成果の概要	集合論的多元宇宙理論について、特に巨大基数公理の下での多元宇宙全体の構造について研究を行い、次のような結果が得られた：１．巨大基数の一つである拡張可能基数が存在するならば、強制法に関して不変である内部宇宙が存在することが判明した。２．選択公理がない状況でも、巨大基数が十分に存在すればすべての基礎モデルが一様に定義可能であり、それにより選択公理がない宇宙においても多元宇宙理論を展開することが可能であることが判明した。３．強制法の一般化である対称拡大についても、対称基礎モデルが一様に定義可能であり、それにより対称拡大宇宙を含めたより広大な多元宇宙理論を展開することが可能であることが明らかになった。
自由記述の分野	公理的集合論
研究成果の学術的意義や社会的意義	強制法の発展により様々な数学の宇宙が構成可能であることが判明し、それにより強制拡大宇宙の総体である集合論的多元宇宙の研究が近年活発に行われている。本研究では、申請者が証明した多元宇宙理論の基本定理である「基礎モデルの下向きの有向性」をさらに発展させることで、巨大基数公理が多元宇宙理論に及ぼす影響を明らかにし、巨大基数が集合の宇宙の総体に予想しない形で影響を及ぼすことを明らかにした。また、選択公理の欠如のもとでも、巨大基数公理のもとでは多元宇宙理論が展開可能であることを示し、多元宇宙のさらなる一般化の可能性を示した。