Hilbert-Speiser型の代数体とStickelberger Ideal

2009 年度 自己評価報告書

• 研究課題/領域番号: 19540005
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 茨城大学
• 研究代表者: 市村 文男 茨城大学, 理学部, 教授 (00203109)
• 研究期間 (年度): 2007 – 2010
• キーワード: 整数環 / 正規整数底 / Hilbert-Speiserの定理 / Stickelberger ideal

研究概要

Pを素数とする。円分体論の基本的な事柄の一つはStickelberger idealがp分体のイデアル類群を消すというKummerの定理である。Hilbertは有理数体上のtameなアーベル拡大の正規整数底に関するHilbert-Speiserの定理を用いてこの定理の別証明を与えた。このことはKummer-Stickelbergerの定理と整数環の構造が密接に関連することを示唆している。この研究の主目標はこの関係を可能な限り一般化することである。具体的に述べる。
(1)代数体Fの整数環をO_Fとしp整数環をO'_Fとする。O_FよりもO'_Fの方が扱いやすい対象なのでO'_Fを主体に考える。Fが条件H'(p^n)を満たすとはF上の全ての、exponentがp^nの約数となるアーベル拡大がO'_Fについて正規底を持つことを言う。また、Fが全てのnでH'(p^n)を満たすとき、Fは条件H'(p^∞)を満たすという。各nに対してH'(p^n)を満たす必要十分条件を何らかのStickelberger idealを用いて記述し、さらに非常に強い条件H'(p^∞)を満たす代数体の例を挙げる。
(2)代数体Fが条件H(p)を満たすとはFの全てのtameなp次巡回拡大が本来の整数環O_Fについて正規底を持つことを言う。この条件を満たす虚アーベル体を決定すること。

研究成果

• [雑誌論文] Hilbert-Speiser number fields and the complex conjugaton (2010)
  • 著者名/発表者名: Humio Ichimura
  • 雑誌名: Journal of the Mathematical Society of Japan vol. 62 ページ: 83-94
  • 査読あり
• [雑誌論文] Hilbert-Speiser number fields and Stickelberger ideals (2009)
  • 著者名/発表者名: Humio Ichimura
  • 雑誌名: Journal de Theorie des Nombres Bordeaux vol. 21 ページ: 589-607
  • 査読あり
• [雑誌論文] Note on Galois descent of a normal integral basis of a cyclic extension of degree p (2009)
  • 著者名/発表者名: Humio Ichimura
  • 雑誌名: Proceedings of the Japan Academy, Ser. A vol. 85 ページ: 160-162
  • 査読あり
• [雑誌論文] On Hilbert-Speiser type imaginary quadratic fields (2009)
  • 著者名/発表者名: Humio Ichimura, Hiroki Sumida-Takahashi
  • 雑誌名: Acta Arithmetica vol. 136 ページ: 385-389
  • 査読あり
• [雑誌論文] Hilbert-Speiser number fields at a prime p inside the p-cyclotomic field (2008)
  • 著者名/発表者名: Humio Ichimura
  • 雑誌名: Journal of Number Theory vol. 128 ページ: 858-864
  • 査読あり
• [学会発表] Hilbert-Speiser number fields and Stickelberger ideals (2008)
  • 著者名/発表者名: 市村文男
  • 学会等名: The Japan-Korea Joint Seminar on Number Theory and Related Topics
  • 発表場所: 東北大学 (仙台)
  • 年月日: 2008-11-14