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正則拡張性に関する定理の一つの応用として、複素3次元クライン群の理論の基礎部分の構成を試みているが、今年度は過去に得ていた結果の付帯的な条件を除去することに成功した。おもな課題は、(1)有限個の4次複素射影変換で生成される3次元射影空間に作用する離散群が与えられたとき、その最も自然な不連続領域の特徴付けに関する部分、及び、(2)複素1次元のKlein群における初等群に対応する群の特徴付けに関する部分であった。(1)に関しては予定通り完了した。派生的な問題で「その領域内に任意の点を定めたとき、その点を通過する領域内の直線があるか?」という問題はまだ解けない。(2)についても、私にとっては長い間の懸案であったが、最終的に解決した。派生的な問題として、non-Kaehler多様体においてMumfordのsemi-stable reductionが成立するかという問題が生じた。今回はこれを回避する形で決着したが、将来に残された非常に興味深い重要な問題である。(1)と(2)を合わせると次の定理が得られる。即ち、「複素3次元射影空間の射影職線を含む領域Ωの、固定点を持たない固有不連続な正則自己同型群による商空間が、コンパクトで非自明な有理型関数もてば、Ωは、複素射影空間の2本以下の交わらない射影直線の補空間である」。同時にこの商空間の形も良く分かる。(2)の証明には非ケーラーなコンパクト複素解析曲面の分類に関する結果を用いた。上記の結果は、論文としてまとめて、2009年1月、学術雑誌に投稿した。
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