| 研究概要 |
今年度は、微分幾何学についての基本的なことを調べ、それを有限要素でどのように近似するかについて調べた!。特に、リーマン多様体上の微分形式の幾何学を詳しく調べ、それを元に「有限要素外積解析」の発展に努力を集中した。具体的には、以下の通りである。
(1) 論文Arnold, Falk, Winther : Finite element exterior calculus, homological techniques, and application, Acta Numerica (2006) pp. 1-155を読んくだ。
(2) 平面上の領域から曲面上の領域への等角写像の有限要素近似について研究した。それを用いて、リーマン多様体上の領域を三角形分割するアルゴリズムを考案し、プログラムを開発した。さらに、リーマン多様体上の領域での楕円型偏微分方程式の境界値問題に対する区分的1次有限要素法のプログラムを開発し、実際に数値算を行った。
(3) リーマン多様体上のNavier-Stokes方程式がどのようなものになるか調べた。そのために必要な基礎的な事柄、とくに微分形式に対する様々な微分作用素の局所座標上での表示を計算した。さらにその計算過程を大学院の授業で講義した。
(4) 「ダム問題」といわれる自由境界問題に対する反復解法について研究した。特に、領域に対する摂動に対して、境界条件から定義される調和関数のDirichlet積分の値の第一変分、第二変分について調べた。
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