| 研究概要 |
(1)平滑性を期待できる半線形発展方程式は,積分方程式へ書き換えられ,ハーティ・リトルウッド・ソボレフの不等式,L^p-L^q評価などの援用により,その適切性が考察されていた。一方,平滑性をもつ半線形発展方程式を組織的に取り扱う方法として,正則半群の非線形摂動の理論が,正則半群の生成素の分数ベキをもとに展開されていた。両者の特性を生かした枠組みとして,L^p-L^q評価を抽象的に組み込んだ汎関数の導入とそれによる半線形安定性条件の提案を行い,平滑性を持つ半線形発展方程式を組織的に取り扱う新たな方法を与え,drift-diffusion systemの適切性の問題へ応用した。
(2)リプシッツ作用素半群の生成定理と密接に関係する抽象的コーシー問題には,古典解の一般化である,軟解(=抽象的発展方程式に対する後退差分方程式の解の一様収束極限として得られる解)の概念がある。ノルムによる準消散条件のもとに,軟解から形成される解作用素は初期値に関して縮小的であり,軟解はベニランによるintegral solutionであることが知られている。そこで,ベニランによるintegral solutionを暗示させる,準消散条件と劣接線条件を組み合わせた条件を提示し,その条件のもとでリプシッツ作用素半群の生成定理を考察したという点が本研究の特色である。
(3)ギンツブルグ・ランダウ方程式に関して,非線形のベキに制限を設ける場合に,L^2適切性の問題が,平滑性を証明する手段として効果的な劣微分作用素を用いて表現される抽象的コーシー問題へ変換され考察されていた。その後,ギンツブルグ・ランダウ方程式に対するL^p適切性の問題が提示された。この種の問題を,リプシッツ作用素半群の生成の問題へ翻訳し考察したことが本研究の特色である。実際,ギンツブルグ・ランダウ方程式を支配する微分作用素が,距離に似た汎関数により表現される準消散条件を満たすことを証明し,先行研究とまったく異なる,リプシッツ作用素半群的接近方法を与えた。
|
