| 研究課題/領域番号 |
19H01780
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
斎藤 毅 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70201506)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 分岐群 / Deligne--Kato公式 / 隣接輪体 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度までの研究で、剰余体が一般の離散付値体の分岐群の理論の基礎がひととおり完成したので、これをまとめた本の執筆を開始した。300ページ弱からなる第1校は完成している。本の内容は、下つき分岐群や加藤が構成したコホモロジー的分岐群を定義する第1部、巡回拡大に対してこれらを比較するHasse--Arfの定理を証明する第2部、ガロワ表現の導手を扱う第3部、分岐群の幾何的な応用を扱う第4部、上つき分岐群を構成する第5部、上つき分岐群の次数商を調べる第6部からなる。分岐群の理論はこの20年で大きく発展したが、その内容を知るには原論文を読むしかなかったので、本としてまとめることはその全貌を把握するために大きな意味のあるものである。
第4部では、Grothendieck--Ogg--Shafarevich公式などの古典的な内容の他に、離散付値環上の曲線上のエタール層の隣接輪体の次元に関するDeligne--Kato公式の新証明を与えた。従来の証明では、曲線をコンパクト化して安定還元定理を適用したが、ここでの証明では、blow-upをとるだけで、コンパクト化は不要である。この方法は、より一般の場合への拡張が期待できる。また第6部では、アーベル拡大に対して上付き分岐群とコホモロジー的分岐群が一致するという定理の証明の剰余体の拡大が1つの元で生成される場合への帰着の部分をEppの定理から直接導くなど、証明のいくつかの簡易化や、過去の論文の誤りの修正などができた。
昨年度よりは研究集会などの活動が復活してきたが、9月に東京で予定していた数論幾何の研究集会はオンラインでの開催となり科研費の支出はなかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
剰余体が一般の離散付値体の分岐群の理論の基礎をまとめた本の執筆は順調に進んでいる。これまでの一連の成果を整理し、さらに先に進むための準備ができた。しかし、混標数のスキーム上の構成可能層の特異台の研究では期待していたような成果は得られなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
混標数のスキーム上の構成可能層の特異台の計算には、開埋め込みの高次順像の消滅を示すことが必要と考えられる。これは正標数での類似ではスムーズ底変換定理から導かれたが、この場合には考える射がスムーズでないという困難がある。最近Scholze氏はダイアモンド上のエタール層の理論を整備したので、これを使って困難の解消を図る。
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