| 研究課題/領域番号 |
19K03406
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
有家 雄介 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 准教授 (50583770)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 頂点作用素代数 / モジュラー形式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標は頂点作用素超代数の表現圏のテンソル積構造と，指標のモジュラー不変性の関係を明らかにし，これらを用いて偶部分として得られる頂点作用素代数の表現圏の構造を考察することである．令和２年度に行ったモジュラー不変性に関する研究としては，頂点作用素超代数の指標のモジュラー不変性の証明に現れる楕円関数について、幾何学的な側面に重点を置いて考察した．具体的には，特別な頂点作用素超代数の自己同型に対して，それが被覆の自己同型となるような楕円曲線を調べ，現れる楕円関数が被覆の自己同型から誘導される関数体上の自己同型に関する固有関数となることを見出した．この結果により，より一般の頂点作用素超代数の自己同型に対して現れる楕円関数に関しても同様の記述が可能であると思われる．さらにこの結果を応用することで，モジュラー不変性の証明をより簡潔にできるのではないかという感触を得た．表現圏に関する研究としては，頂点作用素超代数の超代数構造から定まる自己同型に付随するねじれZhu代数の構造について考察した．このねじれZhu代数は，頂点作用素超代数とその偶部分として現れる頂点作用素代数の表現について考察する際に重要である．今年度の研究では，リー超代数から定まる頂点作用素超代数のねじれZhou代数の構造はリー超代数の偶部分の普遍包絡環の商になることがわかった．実際に商をとる際に現れるイデアルの構造を決定するのは今後の課題である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究成果としてまとめるには次年度で引き続き考察を深めていく必要があると思われるが，研究の進展としては概ね順調である．ただし，予定していた海外の研究集会での研究成果の発表や，国内外の研究者を招聘しての研究課題に関する討論などの予定していた研究活動の実施はできていない状況である．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は，これまでに得られた研究成果をより進展させ，さらに具体例について適用することで，頂点作用素超代数とその偶部分の表現圏を調べることを目的とする研究を進めていく．研究課題に関する討論や研究発表を状況が許す限り行っていく予定であるが，オンラインのツールや研究会などを活用することも視野に入れながら研究活動を行う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加を予定していた国内外の研究集会がすべて中止，またはオンライン開催に変更されたため，旅費はすべて未使用となった．これらの研究費は，次年度もし状況が許せば，旅費として使用する予定であるが，その見込が立たない場合には，物品費として，研究用の計算機や書籍の購入に充てる予定である．
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