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2019 年度 実施状況報告書

テンソル圏を用いた頂点作用素代数の構成とその対称性の研究

研究課題

研究課題/領域番号 19K03409
研究機関東京女子大学

研究代表者

山内 博  東京女子大学, 現代教養学部, 准教授 (40452213)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2022-03-31
キーワード頂点作用素代数 / テンソル圏 / 3互換群 / W代数
研究実績の概要

本研究ではテンソル圏を用いた頂点作用素代数の拡大理論を追求する。当初の具体的な課題として,レベル28のA1型アフィン頂点作用素代数の例外型拡大を用いた中心電荷24の正則頂点作用素代数の構成,レベル9と12のA2型アフィン頂点作用素代数の例外型拡大を用いた中心電荷23の頂点作用素代数の構成,およびそれらの自己同型群の決定を設定した。当該年度ではこれらの課題に取り組み,また派生する問題や定式化についても研究を行った。
A1型に関する課題については,そのコアとなる拡大について,格子頂点作用素代数に付随した軌道体模型を用いて具体的な構成を与え,そのフュージョン代数を決定した。その結果として,この手法で得られる中心電荷24の正則頂点作用素代数を完全に分類することに成功した。
A2型に関する課題については,次数1の部分空間が自明であると期待していたが,様々な状況証拠により,そうではない可能性もありえることが分かった。そのため,次数1の部分空間の次元を計算し,これを確認する必要がある。W代数のコセット構成法を用いるアプローチを検証し,計算手法に関するおおよその見通しが立てられた。
例外的な自己同型についても様々な角度から検証を行った。A1型の課題については,フィッシャー群の作用が期待されるが,全自己同型群の有限性を除いて,その確立に向けた見通しが立ちつつある。A2型については不明な点が多く,ステルマッハーらによる位数3の元で生成される群構造に関する先行研究との関連について,検討を行った。
関連する課題として,モジュラー圏の分類から派生した中心電荷33極値的頂点作用素代数の存在についても研究を行い,これを実際に構成し,肯定的に解決することに成功した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初設定した目標課題について,問題の定式化や,取り組むべき部分的な課題の把握ができており,順調に研究が進行している。

今後の研究の推進方策

A1型の課題については,単純カレント拡大を用いることで,正則頂点作用素代数への拡大を分類することができたので,今後は例外的な拡大に現れる自己同型の構成と決定が課題となる。全自己同型群が有限であれば,様々な先行研究の結果を援用することができるので,有限性を示すことが一つの課題である。また,例外的な拡大に伴って現れる自己同型を具体的に構成することが望まれるが,群論的推察からイジング元を発見・構成できないか試みる。
A2型の課題については次数1の空間の次元を具体的に計算し,決定する。もしこれが自明であれば,未知の頂点作用素代数の構成に繋がる。一方,これが自明でなければ,リーチ格子に付随した頂点作用素代数に埋め込めることが期待される。また,A2型のW代数で生成される頂点作用素代数のクラスについて基礎研究を行い,ステルマッハーらの群論における先行研究結果との関連について,追求する。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルスの影響により,3月中旬以降の出張を取りやめたため。次年度以降の旅費として使用する予定であるが,ウイルスの影響により,そもそも出張できないことも考えられる。その場合の対応は未定である。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2020 2019

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 4件、 招待講演 4件)

  • [雑誌論文] Zk-code vertex operator algebras2020

    • 著者名/発表者名
      T. Arakawa, H. Yamada and H. Yamauchi
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [学会発表] A c=33 extremal VOA2020

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Yamauchi
    • 学会等名
      Vertex Operator Algebras and Related Topics in Kumamoto
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Basic sets of Fischer 3-transposition groups and vertex operator algebras2019

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Yamauchi
    • 学会等名
      Geometric and automorphic aspects of W-algebras
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 23 involutions, Fischer group Fi23 and the moonshine vertex operator algebra2019

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Yamauchi
    • 学会等名
      Representation Theory XVI
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Construction of 2+23 Ising vectors and 2^11:M232019

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Yamauchi
    • 学会等名
      Workshop on Vertex Operator Algebras and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2021-01-27  

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