対称空間の対蹠集合と関連する幾何学の研究

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03478
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 東京理科大学
• 研究代表者: 田中 真紀子 東京理科大学, 創域理工学部数理科学科, 教授 (20255623)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 対称空間 / リー群 / 対蹠集合 / 対蹠部分群 / 極地

研究成果の概要

いくつかの古典型コンパクト対称空間とその商空間の極大対蹠集合の合同類の分類を行った。古典型コンパクト対称空間MをあるコンパクトLie群Gの極地として埋め込み、Gの極大対蹠部分群の共役類の分類結果を利用することで、Mの極大対蹠集合の合同類の代表元の行列を用いた具体的な表示を得た。それを用いて極大対蹠集合の位数の最大値および最大値を取る極大対蹠集合を決定した。Mが外部型の場合には非連結なGの極地として埋め込む必要があることから、非連結コンパクトLie群の極地について調べその基本的性質を明らかにした。

自由記述の分野

微分幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

対称空間は各点で点対称が定義できる空間で、様々なよい性質をもつことが知られている。コンパクト対称空間の対蹠集合はそのコンパクト対称空間の性質を反映した有限部分集合であり、極大対蹠集合の分類や位数の最大値の決定は、対蹠集合の構造や性質を解明するための手掛かりになる。極大対蹠集合の分類の研究を通じて、非連結コンパクトLie群の極地の研究やコンパクトLie群の奇数被覆度の被覆準同型写像による対蹠集合の対応の研究などへの発展があった。対蹠集合は、その有限性から、対称空間論と有限群論や組合せ論などとを関連付けるものであり、研究成果により対称空間の他分野への応用が期待できることから意義があると考えられる。