スピン幾何学の新展開

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03480
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 本間 泰史 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50329108)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: スピン幾何学 / クリフォード解析 / スピノール場 / ラリタ-シュインガー場 / 高階スピン / 実グラスマン多様体 / ヒッグス代数

研究成果の概要

(1) 高階スピンのスピン幾何学の開拓を試みた．第一の成果は，スピン3/2のラリタ-シュインガー作用素に対する固有値計算方法を対称空間上で与え，球面・複素射影空間・四元数射影空間上で計算した．第二の成果は，高階スピンのスピノール場や対称テンソル場の振る舞いを，定曲率空間上で明らかにした．応用として，球面上で高階スピンのディラック作用素の固有値をすべてもとめた．
(2) 球面調和解析におけるPizzetti公式を，向き付き実グラスマン多様体Gr(2,n)上へ一般化した．その過程で，Gr(2,n)上の不変微分作用素らがヒッグス代数と呼ばれるsl(2,R)の変形代数を成すことを解明した．

自由記述の分野

微分幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

(1) 幾何学ではラリタ-シュインガー場の研究が行われ，物理学では量子重力や高次スピンのゲージ理論の研究が行われ，最近は高階スピンのスピノール場の研究が活発である．本課題の成果は，定曲率空間や対称空間という条件のもと，高階スピンのスピノール解析を行ったものであり，スピンが異なる場のツイスター作用素を通した関係が把握できる幾何学・物理学分野にインパクトある成果である．実際，ド-ジッター空間上の調和解析という物理学分野へ応用されている．
(2) 実グラスマン多様体上の不変微分作用素がヒッグス代数を成すことを発見したことは意義があり，Gr(k,n)へ一般化した場合の代数の解明が今後の課題である．