| 研究課題/領域番号 |
19K03490
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00710790)
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| 研究分担者 |
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 組みひも群 / 結び目 |
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| 研究実績の概要 |
量子不変量の幾何的な問題への応用として、結び目の矯飾的交点予想及び（純及び胸像的双方についての）矯飾的手術について前年度に続き研究を行った。特に、昨年度の結果で完全に示すことができず残っていた種数1のpretzel結び目について、（一般化された）矯飾的交点予想を示すことができた。また、前年度のbraid foliationの結果の応用として、結び目の矯飾的手術予想がある意味で有限個の例外を除き正しいことを示した。より正確には、組み紐指数を一つ固定した時、その組み紐指数を持つ結び目について、結び目の矯飾的手術予想の反例は高々有限個であることを示した。また、鏡像的矯飾的手術についても研究を進め、様々な量子不変量を利用することで鏡像的矯飾的手術の非存在性についての障害を多数見出し、実際に計算することで多くの場合に鏡像的矯飾的手術の非存在性を示すことができた。
接触幾何方面の成果として、braid foliationの応用として結び目の最大self-linking numberを求める問題が（実際の計算量は現実的ではないが）可解であることを示した。また、昨年度のある種の正値性をもつ結び目の研究の拡張、一般化として、既存の結び目の正値性の概念を一般に拡張する問題について考察を進めた。連続的に概正結び目というクラスを導入し、正結び目知られている結果を一般化、あるいは概正結び目へと拡張することのできるクラスを発見した。これは正結び目の一般化の模索であるが、いくつかの結果については正結び目、概正則結び目の場合でも知られていない新しい結果となるなど、一般化の方向性が正しいことを示唆している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
接触トポロジーと量子トポロジーをより直接結びつける関連を調べる方面の研究は停滞しているものの、双方の手法・知見を用いることで、これまでに知られていた以上の量子不変量や三次元の接触構造の応用を見出すことに成功している。特に、矯飾的交点予想、あるいは矯飾的手術予想については、他の研究者とは違う視点・手法を用いることで別の角度からの進展を得ることができた。また、結び目の正値性についての研究では、接触幾何に由来するThurston-Bennequin 不変量、self-linking nubmerといった値と量子不変量との間の関係を見出すことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
課題としている接触トポロジーと量子トポロジーとの間の関係性を調べていく。特に、より直接的に関係が深いと思われるFractional Dehn twist coefficientや、結び目のpositivityについての考察を進めていきたい。Bennequin不等式といった本来接触幾何の方面から得られる不等式が結び目のstrongerly quasipositiveと同値である、など、この方面には予想されている事柄が多くあり、それらの予想について、量子不変量などとの関連も含めて研究を進めたい。また、今後はKhovanovホモロジーといったCategorify された量子不変量へと、これまでの成果をもとに研究さらに深めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナのため、当初計画していた外国での学会発表ができずに、旅費として想定したいたものが未使用となった。また、以前は定期的に行っていた国内外の研究者を招いてのセミナー・研究討論も中止、あるいはオンラインへの移行となり、当初の想定の予算を使用することがなかった。今年度は状況をみてオンラインでの研究に必要となる物品、あるいは可能ならば旅費として使用する
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