点渦系平均場方程式の解構造の探究

2021 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03583
• 研究機関: 奈良教育大学
• 研究代表者: 高橋 亮 奈良教育大学, 数学教育講座, 准教授 (30583249)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 点渦系 / 解構造 / 特異極限 / 分布系 / 領域

研究実績の概要

本研究では、渦形成メカニズムを解明するために提唱された確率分布系に従う点渦系平均場方程式、決定分布系に従う点渦系平均場方程式、および単純化された平均場方程式の３つの数理モデル間の解構造の類似点・相違点を解明していく。本年度の研究において得られた主要な結果を４つ述べる。
１．確率分布系および決定分布系に従う数理モデルに関連する２つの非定常問題に対して、十分小さい質量を有する場合の解の一様有界性が証明された。ただし、点渦の向きが２つある場合、それぞれに対応する質量はともに十分小さいものとする。また、両モデルに対して、解が有限時間爆発するための１つの十分条件が得られた。
２．多成分リュービル方程式について、全域解の球対称性が証明された。ただし、確率分布系に従う数理モデルに対しては、分布は連続的でよいが、点渦の向きは一定であるという制約が必要である。また、決定分布系に従う数理モデルに対しては、分布は離散的、点渦の向きは一定、かつ爆発解析において得られる剰余項が消失する十分条件が成り立っているという制約が必要である。
３．確率分布系に従う数理モデルについて、一つの向きに対応する解の成分が爆発し、もう一つの向きに対応する解の成分は一様有界となるような解の列を構成できることが証明された。
４．決定分布系に従う数理モデルについて、爆発解析において剰余項が消失するという条件のもと、上記事項３にある性質をもつ解の列を構成できることが証明された。

現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

本年度において、確率分布系に従う数理モデルの解の存在性、確率分布系および決定分布系に従う数理モデルに関連する２つの非定常問題の解の性質に関する研究がある程度完成する予定であったが、これが達成されたとは言い難い。また、多成分リュービル方程式に関して、球対称性以外の性質が得られなかったため、決定分布系に従う数理モデルへの示唆が得られなかった。さらに、決定分布系に従う数理モデルの特異極限について新規性のある結果が１つも得られなかった。

今後の研究の推進方策

次年度において、多成分リュービル方程式および決定分布系に従う数理モデルの特異極限をより深く研究することによって、解構造を探求していく。多成分リュービル方程式について、問題を常微分方程式へ帰着させて解析すること（既存の解析方法の適用）が困難であることが判明したため、より高度な数値シミュレーションを行い、各種パラメータを変化させたときの解のプロファイルや質量の変化を吟味する。決定分布系に従う数理モデルの特異極限について、まずは点渦の向きが一定である場合に生じる剰余項の発現による影響を吟味する。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルスの影響により、当初から予定していた外国出張（海外の研究者との直接的ディスカッション）を行うことができなくなり、かつ2020年度に招待された国際研究集会の開催が2023年度に延期されたため、旅費に充当される使用額が未使用のままとなっている。一方で、解構造を数値シミュレーションによって捉える必要性が増したため、数値計算に必要なソフトウェアおよび研究用のハイスペックPCの購入を検討している。