量子古典対応および量子カオスの観点に基づくグラフの増大列の解析とその応用

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03608
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12030:数学基礎関連
• 研究機関: 工学院大学 (2020-2022); 名古屋文理大学 (2019)
• 研究代表者: 齋藤 正顕 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (90525164)
• 研究分担者: 長谷川 武博 滋賀大学, 教育学系, 教授 (80409614) ; 西郷 甲矢人 長浜バイオ大学, バイオサイエンス学部, 教授 (80615154) ; 杉山 真吾 日本大学, 理工学部, 助手 (70821817) ; 谷口 哲也 金沢工業大学, 基礎教育部, 准教授 (90625500)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: 正則グラフ / ラマヌジャングラフ / グラフの増大列 / グラフ上の量子カオス / 伊原ゼータ関数 / フーリエ係数

研究成果の概要

(1)正則グラフの non-backtracking path の個数を成分にもつ行列に関するモーメントの極限が逆正弦則のモーメントと類似するという定理を得た．(2)Lubotzky-Phillips-Sarnak ラマヌジャングラフに関する重さ2の cusp form の素数冪フーリエ係数の平均に関する結果を得た.(3)一般化Kesten 分布のモーメントと一般化カタラン数の等式を得た．(4)正則グラフのレゾルベントに現れる行列の成分の主要項を除いた誤差項の分布を決定した．その応用として,グラフの増大列が固有値に関するある条件を満たすときに，誤差項の極限分布は正規分布となることが得られた.

自由記述の分野

グラフ理論

研究成果の学術的意義や社会的意義

ラマヌジャングラフなどに代表される効率のよいネットワークの特徴づけとして,グラフ上の量子エルゴード定理や量子カオスに注目した研究を行った.量子カオスは,ラプラシアンの固有関数の挙動に関する現象である.ラプラシアンや固有関数のふるまいを調べる基礎として, 我々は, 正則グラフの隣接行列のレゾルベントに現れる幾何的な量に着目し,その非自明な部分の分布について決定した. また,巨大な正則グラフの隣接行列の固有値の分布などの例に現れるケステン分布の一般化について,そのモーメントに関する新しい等式などが得られた. この結果は,上記のグラフの幾何的な量にも関係する.