2020 年度実施状況報告書

量子ウォークのモデル間における相互複写可能性と長時間極限定理の研究

研究課題

研究課題/領域番号	19K03625
研究機関	日本大学
研究代表者	町田拓也日本大学, 生産工学部, 講師 (20637144)
研究期間 (年度)	2019-04-01 – 2022-03-31
キーワード	量子ウォーク / 極限定理 / 複写可能性
研究実績の概要	令和2年度は、査読付学術論文を2本出版した。「Limit distribution of a time-dependent quantum walk on the half line, Takuya Machida, Quantum Information Processing, Vol.19, 296 (2020)」では、量子ウォーカーが半直線上の端点（原点）に局在化した状態から出発し、2つのユニタリ行列が交互に量子ウォークのシステムに作用するようなモデルを研究した。この半直線上の時刻依存型2周期量子ウォークを、全直線上の時刻依存型2周期量子ウォークに複写できることを証明し、それを利用することで量子ウォークの確率分布の長時間極限定理を導出することに成功した。極限分布は量子ウォーカーの初期状態によらず、ユニタリ作用素だけで決まることがわかった。さらに、この研究成果から、ユニタリ行列が時刻に依存しないような半直線上の量子ウォークの確率分布に対して、その厳密な表現を得ることができた。「A limit distribution for a quantum walk driven by a five-diagonal unitary matrix, Takuya Machida, Quantum Information and Computation, Vol.21 No.1&2, pp.19-36 (2021)」では、CMV行列のクラスに含まれる、ある5重対角ユニタリ行列で時間発展が行われるような1次元量子ウォークの確率分布をフーリエ解析で解析し、長時間極限分布を導出した。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由半直線上の時刻依存型量子ウォークのシステムが、全直線上の時刻依存型量子ウォークのシステムに複写可能性であることを証明し、フーリエ解析を用いることで長時間極限定理を導出したことをまとめた査読付論文は、国際雑誌から出版された。5重対角ユニタリ行列で時間発展が定義されるような1次元量子ウォークの解析をまとめた査読付論文が国際雑誌から出版された。また、開放系1次元量子ウォークの研究も行い、時間発展作用素によって、確率分布の時刻に対する拡散オーダーが時間発展作用素によって変化することを発見した。その研究成果は論文にまとめられ国際雑誌に投稿され、現在査読審査中である。コロナウィルスの影響で2020年8月と2021年3月に予定していたUniversity of Californiaの数学科を訪問して、F. Alberto Grunbaum教授と研究議論を行う計画はキャンセルしたが、研究はおおむね順調に進展しているといえる。
今後の研究の推進方策	今後は、2次元系の量子ウォークモデルの間にある複写可能性を発見するために、理論と計算機を用いてモデルを構成し、確率分布の極限定理導出を目指して研究を進めていく。2次元系の量子ウォークの計算は、1次元系のモデルに比べ煩雑になるので、数式ソフトウェアやコンピュータープログラミングも利用して、理論計算を進めていく予定である。研究対象とする量子ウォークモデルの構築は、数学的な視点からだけでなく、量子物理学の視点からも行う。そのために、数学だけでなく物理学の論文や専門書も調査しつつ研究を進めていく。2次元系の量子ウォークモデルにおいて、モデル間の複写可能性を発見できた場合、1次元系モデルの解析同様に、フーリエ解析を用いて長時間極限定理の導出を試みる。本研究を進めるためにアドバイスが必要な場合、量子ウォークや量子物理学の専門家と議論を行う。コロナウィルスの状況が改善され次第、University of Californiaの数学科を訪問して、研究を進めるための議論をF. Alberto Grunbaum教授と行いアドバイスを得る。研究進捗状況や成果は、国内外の研究集会に参加して発表する。得られた結果は、論文にまとめて国際雑誌に投稿する。同時に、ホームページ上で周知するなどして発信する。
次年度使用額が生じた理由	コロナウィルスの影響で、2020年8月、2021年3月に予定していたUniversity of California Berkeleyの数学科への研究訪問を行うことができなかった。次年度以降の研究出張に充てる。計算機の購入を行わなかったため。計算機の購入に使用する。