Complete reducibility, geometric invariant theory, spherical buildings: a new approach to representations of algebraic groups

2021 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K14516
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 創価大学
• 研究代表者: 内山 智博 創価大学, 国際教養学部, 講師 (60822088)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 代数群

研究成果の概要

本研究では代数群（行列群）の完全既約性（分解できるか否か）について３つの異なる数学の分野（１：群論、２：幾何学的不変式論（代数幾何の一分野）、３：ビルディングの理論（組み合わせ幾何学））からの手法を用いて考察した。これまで完全既約性は主に群論の表現論を用いてのみ分析され、それは代数群の「タイプ」別に行われ、非統一的で理解しにくいものであった。本研究では幾何学的不変式論を使ってそれらの分析を統一的なものに置き換え、ビルディングの理論を使ってトポロジー的、組み合わせ論的解釈を加えた。

自由記述の分野

代数学

研究成果の学術的意義や社会的意義

これまでタイプ別に分析されていた代数群の構造に幾何学的不変式論を用いた統一的理解とビルディングの理論を用いたトポロジー的解釈を与え、より構造を理解しやすくした。またこれまでほとんど分析されてこなかったより複雑な代数群のケース（体がperfectでないケース）に幾何学的不変式論を適用するとこれまで通りの結果が成り立つ場合と成り立たない場合がある事を具体例を使ってその原因とともに示した。この結果は特に数論への応用に対して重要であると考えられ、今後の発展がより期待される。