線形スケイン理論による量子群の表現圏の計算と量子トポロジーへの応用

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K14528
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 湯淺 亘 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (80824961)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: スケイン関係式 / スケイン代数 / クラスター代数 / 色付きジョーンズ多項式 / 量子不変量 / 曲面のモジュライ空間

研究成果の概要

sl(3)の最高ウェイトが(n,0)の既約表現で色付けされたジョーンズ多項式においてadequateな絡み目に対するtailの存在を示した。また、sp(4)についても最高ウェイト(n,0),(0,n)の既約表現で色付けされた(2,m)-トーラス絡み目のtailを得た。
石橋典氏との共同研究でsl(3),sp(4)のクラスプ付きスケイン代数がsl(3),sp(4)から構成される曲面の量子クラスター代数へ埋め込まれることを示した。

自由記述の分野

量子トポロジー

研究成果の学術的意義や社会的意義

高階の結び目の　tail の明示式については、 sl(3) の場合にトーラス絡み目の tail が頂点作用素代数のある表現に関する指標と対応することが示された。そのため sp(4) において得られた tail が同様に頂点作用素代数の指標で得られる可能性がある。更に、量子クラスター代数との対応では例外型リー代数 g(2) に関しても同様の研究を進めており、これら rank 2 の場合の対応からさらに高階の対応についての研究の指標となる。また、クラスター代数はFock-Goncharovによる曲面の局所系のモジュライ空間の関数環に対応していることから、モジュライの研究への応用も見込まれる。