完全非線形方程式の粘性解理論とその応用

2010 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20340026
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 基礎解析学
• 研究機関: 埼玉大学
• 研究代表者: 小池 茂昭 埼玉大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (90205295)
• 研究分担者: 石井 仁司 早稲田大学, 教育総合科学学術院, 教授 (70102887) ; 三上 敏夫 広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (70229657) ; 石井 克幸 神戸大学, 大学院・海事科学研究科, 准教授 (40232227) ; 長井 英生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (70110848) ; 森本 宏明 愛媛大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (80166438)
• 研究期間 (年度): 2008 – 2010
• キーワード: 粘性解 / 楕円性 / 完全非線形方程式 / 最大値原理 / ハルナック不等式 / 比較原理

研究概要

完全非線形2階楕円型偏微分方程式の粘性解の基礎理論を研究した。一様楕円型方程式が1階微分項に非有界係数がある場合に、Lp粘性解に対し、弱ハルナック不等式が成立することが証明された。その応用として、強最大値原理、非有界領域での最大値原理、Phragmen-Lindelof定理など、Lp粘性解の定性的性質が示された。
また、退化楕円型方程式が1階微分項に関して一次以上の増大度がある場合に、粘性解が属する適切な関数空間を設定し、その下で粘性解の比較原理を証明した。

研究成果

• [雑誌論文] Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with superlinear growth terms in Du (2010)
  • 著者名/発表者名: S. Koike
  • 雑誌名: 微分方程式の粘性解理論とその周辺-数理解析研究所講究録 巻: 1695巻 ページ: 139-147
• [雑誌論文] Non-local Hamilton-Jacobi equations arising in dislocation dynamics (2010)
  • 著者名/発表者名: H. Ishii, Y. Matsumura
  • 雑誌名: Z. Anal. Anwend 巻: 29巻 ページ: 309-350
  • 査読あり
• [雑誌論文] A class of integral equations and approximation of $p$-Laplace equations. (2010)
  • 著者名/発表者名: H. Ishii, G. Nakamura
  • 雑誌名: Calc. Var. Partial Differential Equations 巻: 37巻 ページ: 485-522
  • 査読あり
• [雑誌論文] Asymptotics of the probability minimizing a down-side risk (2010)
  • 著者名/発表者名: H. Hata, H. Nagai, S.-J. Sheu
  • 雑誌名: Ann. Appl. Probab 巻: 20巻 ページ: 52-89
  • 査読あり
• [雑誌論文] Recent developments on maximum principle for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear elliptic/parabolic PDEs. Recent Progress on Reaction-Diffusion Systems and Viscosity Solutions (2009)
  • 著者名/発表者名: S. Koike
  • 雑誌名: World Sci. Publ., Hackensack, NJ ページ: 131-153
  • 査読あり
• [雑誌論文] Remarks on the Phragmen-Lindel of theorem for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients (2009)
  • 著者名/発表者名: S. Koike, K. Nakagawa
  • 雑誌名: Electron. J. Differential Equations 巻: 146巻 ページ: 1-14
  • 査読あり
• [雑誌論文] Weak Harnack inequality for fully nonlinear uniformly elliptic PDE with unbounded ingredients. (2009)
  • 著者名/発表者名: S. Koike, A. Swiech
  • 雑誌名: J. Math. Soc. Japan 巻: 61巻 ページ: 723-755
  • 査読あり
• [雑誌論文] Existence of strong solutions of Pucci extremal equations with superlinear growth in Du. J (2009)
  • 著者名/発表者名: S. Koike, A. Swiech
  • 雑誌名: Fixed Point Theory Appl 巻: 5巻 ページ: 291-304
  • 査読あり
• [雑誌論文] Two remarks on periodic solutions of Hamilton-Jacobi equations. Recent progress on reaction-diffusion systems and viscosity solutions (2009)
  • 著者名/発表者名: H. Ishii, H. Mitake
  • 雑誌名: World Sci. Publ., Hackensack, NJ ページ: 97-119
  • 査読あり
• [雑誌論文] Long-time behavior of solutions of Hamilton-Jacobi equations with convex and coercive Hamiltonians (2009)
  • 著者名/発表者名: N. Ichihara, H. Ishii
  • 雑誌名: Arch. Ration. Mech. Anal 巻: 194巻 ページ: 383-419
  • 査読あり
• [雑誌論文] Optimal transportation problem on stochastic mechanics, Selected papers on probability and statistics (2009)
  • 著者名/発表者名: T. Mikami
  • 雑誌名: Amer. Math. Soc. Transl. Ser 巻: 227巻 ページ: 75-94
  • 査読あり
• [雑誌論文] The large-time behavior of solutions of Hamilton-Jacobi equations on the real line (2008)
  • 著者名/発表者名: N. Ichihara, H. Ishii
  • 雑誌名: Methods Appl. Anal 巻: 15巻 ページ: 223-242
  • 査読あり
• [雑誌論文] Asymptotic solutions of Hamilton-Jacobi equations with semi-periodic Hamiltonians (2008)
  • 著者名/発表者名: N. Ichihara, H. Ishii
  • 雑誌名: Comm. Partial Differential Equations 巻: 33巻 ページ: 784-807
  • 査読あり
• [雑誌論文] Asymptotic solutions for large time of Hamilton-Jacobi equations in Euclidean n space (2008)
  • 著者名/発表者名: H. Ishii
  • 雑誌名: Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 巻: 25巻 ページ: 231-266
  • 査読あり
• [雑誌論文] Optimal transportation problem by stochastic optimal control (2008)
  • 著者名/発表者名: T. Mikami, M. Thieullen
  • 雑誌名: SIAM J. Control Optim 巻: 47巻 ページ: 1127-1139
  • 査読あり
• [雑誌論文] PDE approach to utility maximization for market models with hidden Markov factors (2008)
  • 著者名/発表者名: H. Nagai, W. J. Runggaldier
  • 雑誌名: Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications V 巻: 59巻 ページ: 493-506
  • 査読あり
• [雑誌論文] Optimal consumption in a growth model with the Cobb-Douglas production function (2008)
  • 著者名/発表者名: H. Morimoto, X. Y. Zhou
  • 雑誌名: SIAM J. Control Optim 巻: 47巻 ページ: 2991-3006
  • 査読あり
• [雑誌論文] Optimal consumption models in economic growth (2008)
  • 著者名/発表者名: H. Morimoto
  • 雑誌名: J. Math. Anal. Appl 巻: 337巻 ページ: 480-492
  • 査読あり
• [学会発表] On viscosity solutions of fully nonlinear elliptic PDE with measurable and unbounded ingredients (2011)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 発表場所: Nonlinear PDE's, Valparaiso (Chile)
  • 年月日: 2011-01-14
• [学会発表] 完全非線形楕円型偏微分方程式のLp粘性解について (2010)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: 研究集会
  • 発表場所: 京都大学
  • 年月日: 20101218-19
• [学会発表] Lp粘性解の最近の進展について (2010)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: 第8回浜松偏微分方程式研究集会
  • 発表場所: 静岡大学
  • 年月日: 2010-12-21
• [学会発表] On the weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients (2010)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: 研究集会
  • 発表場所: 北海道大学
  • 年月日: 2010-07-21
• [学会発表] Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients (2010)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: Positivity : A key to fully nonlinear equations Conference
  • 発表場所: Salerno (Italy)
  • 年月日: 2010-06-02
• [学会発表] Weak Harnack inequality for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients (2009)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: The Second Chile-Japan Workshop on Elliptic and Parabolic Equations
  • 発表場所: 明治大学
  • 年月日: 2009-12-02
• [学会発表] Weak Harnack inequality for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear elliptic PDEs with unbounded ingredients (2009)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: The Second International Conference of Reaction Diffusion Systems and Viscosity Solution
  • 発表場所: Providence University (台湾)
  • 年月日: 2009-07-18
• [学会発表] Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with superlinear growth terms in Du (2009)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: 研究集会
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 年月日: 2009-06-26
• [学会発表] Recent developments on the ABP maximum principle for fully nonlinear eliptic PDEs (2008)
  • 著者名/発表者名: 小池茂昭
  • 学会等名: 第4回非線型の諸問題
  • 発表場所: 佐賀大学
  • 年月日: 2008-09-22
• [図書] GAKUTO International Series, Mathematical Sciences and Applications (2008)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga, K. Ishii, S. Koike, T. Ozawa, N. Yamada, Gakkotosho
  • 総ページ数: 30
  • 出版者: International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity Solutions