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2011 年度 実績報告書

古典的不等式の精密化と非線形退化楕円型方程式論への応用

研究課題

研究課題/領域番号 20540153
研究機関茨城大学

研究代表者

堀内 利郎  茨城大学, 理学部, 教授 (80157057)

研究分担者 大西 和榮  茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
中井 英一  茨城大学, 理学部, 教授 (60259900)
下村 勝孝  茨城大学, 理学部, 教授 (00201559)
安藤 広  茨城大学, 理学部, 講師 (60292471)
キーワード楕円型偏微分方程式 / 非線形変分問題 / ソボレフ不等式 / ハーディ不等式 / 退化楕円型問題 / ミッシングターム / CKN型不等式 / 対称性の破れ
研究概要

次の6つの研究が行われたので、それぞれの実績の概要を述べます。
1. 古典的不等式のミッシング・タームの研究:古典的なハーディー・ソボレフ型の精密化が研究された。可算無限個の精密なミッシング・タームと最良定数が求められ、さらに一般化された対数関数(super-logarithm)を導入する事により最終的な解決への突破口が解明された。また、レリッヒ型の場合も研究が開始された.昨年度、CKN型の不等式がすべての指数の場合に拡張されたのを受け、それらのミッシング・タームの研究も開始された。
2. 精密化された古典的不等式の非線形楕円型作用素の解析への直接的応用:可算個のミッシング・タームの和をポテンシャルとする退化楕円型作用素の境界値問題と非線形問題が研究された。その事により、逆にsuper-logarithmを特徴づける事に成功した。
3. 準線形楕円型作用素の線形化法による解析:最小解や第一固有関数の安定性に着目した研究を発展させ、C-K-N型不等式に関連するエネルギー最小解の対称性の破れが起こることがほぼ完全に示され、そのメカニズムの解明がある程度なされた。同時に、等周不等式の対称性の崩れがおこる事が証明された。
4. 準線形退化楕円型方程式の特異解の構造研究:準線形退化楕円型方程式の特異解のプロフィールのシュミレーションと解析の準備が進められた
5. 退化楕円型作用素のスペクトルの研究:準線形作用素を線形化して得られる退化楕円型作用素について、どのような条件でスペクトルが離散的になり、固有関数が有界性や正則性と有するか等を実解析的な手法で研究が進められた
6. 退化楕円型作用素のポテンシャル論的研究:関数p(x)を指数とする重みつき空間やオーリッツ空間上での作用素のバーディ型不等式を用いた解析が行われ多くの成果を得た。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2012 2011

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (3件)

  • [雑誌論文] The Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities involving critical and supercritical weights2012

    • 著者名/発表者名
      T.Horiuchi, P.Kumlin
    • 雑誌名

      Proceedings of the Japan Academy

      巻: 88 ページ: 1-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Caloric morphisms between different radial metrics on semi-euclidean spaces of same dimension2011

    • 著者名/発表者名
      K.Shimomura
    • 雑誌名

      Mathematical Journal of Ibaraki University

      巻: 43 ページ: 13-41

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Liouville type theorem associated with the wave equation2011

    • 著者名/発表者名
      K.Shimomura
    • 雑誌名

      Mathematical Journal of Ibaraki University

      巻: 43 ページ: 51-64

    • 査読あり
  • [学会発表] Construction of slowly increasing functions2012

    • 著者名/発表者名
      安藤広
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      東京理科大
    • 年月日
      2012-03-29
  • [学会発表] On the symmetry breaking of the non-critical Caffarelli-Khon-Nirenberg inequalities by a linearization method2012

    • 著者名/発表者名
      堀内利郎
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      東京理科大
    • 年月日
      2012-03-27
  • [学会発表] 重み付きハーディの不等式の精密化に付いて2012

    • 著者名/発表者名
      安藤広
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      東京理科大
    • 年月日
      2012-03-27

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公開日: 2013-06-26  

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